Exercice 4 · Bac Mathématiques Polynésie 2022 (jour 1)

Thème : Géométrie dans l'espace : vecteurs, droites, plans, produit scalaire et repérage · Tiré du sujet Jour 1 (2022)

Énoncé

EXERCICE 4 (7 points) — Thèmes: géométrie dans le plan et dans l'espace

L'espace est rapporté à un repère orthonormé où l'on considère:

les points A(2;−1;0)A(2; -1; 0), B(1;0;−3)B(1; 0; -3), C(6;6;1)C(6; 6; 1) et E(1;2;4)E(1; 2; 4);

le plan P\mathcal{P} d'équation cartésienne: 2x−y−z+4=02x - y - z + 4 = 0.

1.a.

Démontrer que le triangle ABCABC est rectangle en AA.

1.b.

Calculer le produit scalaire BA⃗⋅BC⃗\vec{BA} \cdot \vec{BC} puis les longueurs BABA et BCBC.

1.c.

En déduire la mesure en degrés de l'angle ABC^\widehat{ABC}, arrondie au degré.

°

2.a.

Démontrer que le plan P\mathcal{P} est parallèle au plan (ABC)(ABC).

2.b.

En déduire une équation cartésienne du plan (ABC)(ABC).

2.c.

Déterminer une représentation paramétrique de la droite D\mathcal{D} orthogonale au plan (ABC)(ABC) et passant par le point EE.

2.d.

Démontrer que le projeté orthogonal HH du point EE sur le plan (ABC)(ABC) a pour coordonnées (4;12;52)\left(4; \frac{1}{2}; \frac{5}{2}\right).

3.

On rappelle que le volume d'une pyramide est donné par V=13Bh\mathcal{V} = \frac{1}{3}\mathcal{B}h où B\mathcal{B} désigne l'aire d'une base et hh la hauteur de la pyramide associée à cette base.

Calculer l'aire du triangle ABCABC puis démontrer que le volume de la pyramide ABCEABCE est égal à 16,516,5 unités de volume.

Énoncé: Exercice 4 · Bac Mathématiques Polynésie 2022 (jour 1)

Corrigé

Corrigé établi d’après les éléments de correction officiels

1.a. Démontrer que le triangle ABC est rectangle en A.

Réponse : Le triangle ABC est rectangle en A car AB⃗⋅AC⃗=0\vec{AB} \cdot \vec{AC} = 0 (ou BC2=AB2+AC2BC^2 = AB^2 + AC^2).

1.b. Calculer le produit scalaire BA · BC

Réponse : 11

1.b. Longueur BA

Réponse : 11\sqrt{11}

1.b. Longueur BC

Réponse : 77\sqrt{77}

1.c. En déduire la mesure en degrés de l'angle ABC, arrondie au degré.

Réponse : 68

2.a. Démontrer que le plan P est parallèle au plan (ABC).

Réponse : Un vecteur normal à P\mathcal{P} est n⃗(2−1−1)\vec{n}\begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ -1 \end{pmatrix}, qui est orthogonal à AB⃗\vec{AB} et AC⃗\vec{AC}, donc n⃗\vec{n} est aussi normal à (ABC)(ABC), ce qui prouve que P\mathcal{P} et (ABC)(ABC) sont parallèles.

2.b. En déduire une équation cartésienne du plan (ABC).

Réponse : 2x−y−z−5=02x - y - z - 5 = 0

2.c. Déterminer une représentation paramétrique de la droite D orthogonale au plan (ABC) et passant par le point E.

Réponse : {x=1+2ty=2−tz=4−t(t∈R)\begin{cases} x = 1 + 2t \\ y = 2 - t \\ z = 4 - t \end{cases} \quad (t \in \mathbb{R})

2.d. Démontrer que le projeté orthogonal H du point E sur le plan (ABC) a pour coordonnées (4 ; 1/2 ; 5/2).

Réponse : H∈D∩(ABC)H \in \mathcal{D} \cap (ABC), la résolution du système donne t=32t = \frac{3}{2} d'où H(4;12;52)H\left(4 ; \frac{1}{2} ; \frac{5}{2}\right).

3. Calculer l'aire du triangle ABC

Réponse : 1162\frac{11\sqrt{6}}{2}

3. Démontrer que le volume de la pyramide ABCE est égal à 16,5 unités de volume.

Réponse : V=13×B×h=13×1162×362=332=16,5\mathcal{V} = \frac{1}{3} \times \mathcal{B} \times h = \frac{1}{3} \times \frac{11\sqrt{6}}{2} \times \frac{3\sqrt{6}}{2} = \frac{33}{2} = 16{,}5

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