Exercice 2 · Bac Mathématiques Polynésie 2023 (jour 2)

Thème : Géométrie dans l'espace : vecteurs, droites, plans, produit scalaire et repérage · Tiré du sujet Jour 2 (2023)

Énoncé

L'espace est muni d'un repère orthonormé (O;ı⃗,ȷ⃗,k⃗)(O; \vec{\imath}, \vec{\jmath}, \vec{k}).

On considère:

le point A(1;−1;−1)A(1; -1; -1);

le plan P1\mathcal{P}_1 d'équation: 5x+2y+4z=175x + 2y + 4z = 17;

le plan P2\mathcal{P}_2 d'équation: 10x+14y+3z=1910x + 14y + 3z = 19;

la droite D\mathcal{D} de représentation paramétrique: {x=1+2ty=−tz=3−2touˋ t deˊcrit R.\begin{cases} x = 1 + 2t \\ y = -t \\ z = 3 - 2t \end{cases} \quad \text{où } t \text{ décrit } \mathbf{R}.

1.

Justifier que les plans P1\mathcal{P}_1 et P2\mathcal{P}_2 ne sont pas parallèles.

2.

Démontrer que D\mathcal{D} est la droite d'intersection de P1\mathcal{P}_1 et P2\mathcal{P}_2.

3.

a.

Vérifier que AA n'appartient pas à P1\mathcal{P}_1.

b.

Justifier que AA n'appartient pas à D\mathcal{D}.

4. Pour tout réel tt, on note MM le point de D\mathcal{D} de coordonnées (1+2t;−t;3−2t)(1 + 2t; -t; 3 - 2t). On considère alors ff la fonction qui à tout réel tt associe AM2AM^2, soit f(t)=AM2f(t) = AM^2.

a.

Démontrer que pour tout réel tt, on a: f(t)=9t2−18t+17f(t) = 9t^2 - 18t + 17

b.

Démontrer que la distance AMAM est minimale lorsque MM a pour coordonnées (3;−1;1)(3; -1; 1).

5.

On note HH le point de coordonnées (3;−1;1)(3; -1; 1). Démontrer que la droite (AH)(AH) est perpendiculaire à D\mathcal{D}.

Énoncé: Exercice 2 · Bac Mathématiques Polynésie 2023 (jour 2)

Corrigé

Corrigé proposé par AprenAI (non officiel)

1. Justifier que les plans P1\mathcal{P}_1 et P2\mathcal{P}_2 ne sont pas parallèles.

Réponse : Un vecteur normal à P1\mathcal{P}_1 est n⃗1(5;2;4)\vec{n}_1(5 ; 2 ; 4) et un vecteur normal à P2\mathcal{P}_2 est n⃗2(10;14;3)\vec{n}_2(10 ; 14 ; 3). Ces vecteurs ne sont pas colinéaires car 105=2≠142=7\frac{10}{5} = 2 \neq \frac{14}{2} = 7. Par conséquent, les plans P1\mathcal{P}_1 et P2\mathcal{P}_2 ne sont pas parallèles.

2. Démontrer que D\mathcal{D} est la droite d'intersection de P1\mathcal{P}_1 et P2\mathcal{P}_2.

Réponse : Pour tout point M(1+2t;−t;3−2t)∈DM(1+2t ; -t ; 3-2t) \in \mathcal{D} : 5(1+2t)+2(−t)+4(3−2t)=5+10t−2t+12−8t=175(1+2t) + 2(-t) + 4(3-2t) = 5 + 10t - 2t + 12 - 8t = 17 10(1+2t)+14(−t)+3(3−2t)=10+20t−14t+9−6t=1910(1+2t) + 14(-t) + 3(3-2t) = 10 + 20t - 14t + 9 - 6t = 19 Tous les points de D\mathcal{D} appartiennent à la fois à P1\mathcal{P}_1 et à P2\mathcal{P}_2. Comme ces deux plans sont sécants, leur intersection est une droite, qui est donc D\mathcal{D}.

3. a. Vérifier que AA n'appartient pas à P1\mathcal{P}_1.

Réponse : En remplaçant les coordonnées de A(1;−1;−1)A(1 ; -1 ; -1) dans l'équation de P1\mathcal{P}_1 : 5(1)+2(−1)+4(−1)=5−2−4=−1≠175(1) + 2(-1) + 4(-1) = 5 - 2 - 4 = -1 \neq 17 Donc A∉P1A \notin \mathcal{P}_1.

3. b. Justifier que AA n'appartient pas à D\mathcal{D}.

Réponse : Comme D⊂P1\mathcal{D} \subset \mathcal{P}_1 et que A∉P1A \notin \mathcal{P}_1, le point AA ne peut pas appartenir à la droite D\mathcal{D}.

Les réponses des 3 questions restantes et l’explication pas à pas sont réservées aux membres Premium. Premium

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