Exercice 3 - Partie B : Calcul intégral · Bac Mathématiques Polynésie 2025 (jour 1)

Exercice 3. (5 points)

On munit le plan d'un repère orthonormé.

Pour tout entier naturel $n$, on considère la fonction $f_n$ définie sur $[0\,;\,+\infty[$ par:

$$f_0(x) = \mathrm{e}^{-x} \quad \text{et, pour } n \ge 1, \quad f_n(x) = x^n \mathrm{e}^{-x}.$$

Pour tout entier naturel $n$, on note $C_n$ la courbe représentative de la fonction $f_n$.

Les parties A et B sont indépendantes.

Partie B: Étude des intégrales $\int_0^1 f_n(x)\,\mathrm{d}x$ pour $n \ge 0$

Dans cette partie, on étudie les fonctions $f_n$ sur $[0\;; 1]$ et on considère la suite $(I_n)$ définie pour tout entier naturel $n$ par:

$$I_n = \int_0^1 f_n(x)\,\mathrm{d}x = \int_0^1 x^n \mathrm{e}^{-x}\,\mathrm{d}x.$$

1.

Sur le graphique en ANNEXE ci-dessous, on a représenté les courbes $\mathcal{C}_0$, $\mathcal{C}_1$, $\mathcal{C}_2$, $\mathcal{C}_{10}$ et $\mathcal{C}_{100}$.

a.

Donner une interprétation graphique de $I_n$.

b.

Par lecture de ce graphique, quelle conjecture peut-on émettre sur la limite de la suite $(I_n)$ ?

2.

Calculer $I_0$.

3.

a.

Soit $n$ un entier naturel. Démontrer que pour tout $x \in [0\;; 1]$, $0 \le x^{n+1} \le x^n$.

b.

En déduire que pour tout entier naturel $n$, on a: $0 \le I_{n+1} \le I_n$.

4.

Démontrer que la suite $(I_n)$ est convergente, vers une limite positive ou nulle que l'on notera $\ell$.

5.

En utilisant une intégration par parties, démontrer que pour tout entier naturel $n$ on a:

$$I_{n+1} = (n + 1)I_n - \frac{1}{\mathrm{e}}$$

6.

a.

Démontrer que si $\ell > 0$, l'égalité de la question 5 conduit à une contradiction.

b.

Démontrer que $\ell = 0$. On pourra utiliser la question 6.a..

On donne ci-dessous le script de la fonction mystere, écrite en langage Python. On a importé la constante e.

def mystere(n):

I = 1 - 1/e

L = [I]

for i in range(n):

I = (i + 1)*I - 1/e

L.append(I)

return L

7.

Que renvoie mystere(100) dans le contexte de l'exercice ?