Exercice 1 - Parties A et B · Bac Mathématiques Nouvelle-Calédonie 2023 (jour 1)

Une entreprise de location de bateaux de tourisme propose à ses clients deux types de bateaux: bateau à voile et bateau à moteur.

Par ailleurs, un client peut prendre l'option PILOTE. Dans ce cas, le bateau, qu'il soit à voile ou à moteur, est loué avec un pilote.

On sait que:

60 % des clients choisissent un bateau à voile;

parmi eux, 20 % prennent l'option PILOTE.

42 % des clients prennent l'option PILOTE.

On choisit au hasard un client et on considère les événements:

$V$: « le client choisit un bateau à voile »;

$L$: « le client prend l'option PILOTE ».

Les trois parties peuvent être traitées de manière indépendante.

Partie A

1.

Traduire la situation par un arbre pondéré que l'on complétera au fur et à mesure.

2.

Calculer la probabilité que le client choisisse un bateau à voile et qu'il ne prenne pas l'option PILOTE.

3.

Démontrer que la probabilité que le client choisisse un bateau à moteur et qu'il prenne l'option PILOTE est égale à $0{,}30$.

4.

En déduire $P_{\overline{V}}(L)$, probabilité de $L$ sachant que $V$ n'est pas réalisé.

5.

Un client a pris l'option PILOTE. Quelle est la probabilité qu'il ait choisi un bateau à voile ? Arrondir à $0{,}01$ près.

Partie B

Lorsqu'un client ne prend pas l'option PILOTE, la probabilité que son bateau subisse une avarie est égale à $0{,}12$. Cette probabilité n'est que de $0{,}005$ si le client prend l'option PILOTE.

On considère un client. On note $A$ l'événement: « son bateau subit une avarie ».

1.

Déterminer $P(L \cap A)$ et $P(\overline{L} \cap A)$.

2.

L'entreprise loue $1000$ bateaux. À combien d'avaries peut-elle s'attendre ?