Exercice 3 - Question 2 : Fonction logarithme nép… · Bac STI2D Physique-Chimie et Mathématiques Métropole 2026

EXERCICE 3 (4 points)

(Mathématiques)

Dans cet exercice, les questions 1, 2 et 3 sont indépendantes les unes des autres.

Question 1

On considère la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par:

$$f(x) = (8x + 1)\text{e}^{-x}$$

On admet que $f(x) \ge 0$ pour tout $x$ appartenant à $[0; 2]$.

Dans le repère orthonormé $(O; \vec{i}, \vec{j})$ ci-dessous, $C_f$ désigne la courbe représentative de $f$.

On considère la fonction $F$ définie sur $\mathbb{R}$ par:

$$F(x) = -(8x + 9)\text{e}^{-x}$$

On admet que $F$ est une primitive de $f$ sur $\mathbb{R}$.

On note A l'aire du domaine hachuré sur la figure ci-dessus, en unité d'aire.

Question 2

On considère la fonction $g$ définie sur $]0; +\infty[$ par:

$$g(x) = 2x + 1 + 4\ln(x).$$

On admet que $g$ est dérivable sur $]0; +\infty[$ et on note $g'$ sa dérivée.

1.

Montrer que $g'(x) = \dfrac{2x+4}{x}$, pour tout $x$ appartenant à $]0; +\infty[$.

2.

Déterminer le sens de variation de la fonction $g$ sur $]0; +\infty[$.