Exercice 1 - Fonction logarithme népérien · Bac STI2D Physique-Chimie et Mathématiques Métropole 2024

Exercice 1 – Concert musical

Lors d'un concert de musique rock organisé dans la ville de Venise, une scène flottante était placée à 120 m au large de la côte et donc des spectateurs du premier rang. Cette configuration particulière a posé des problèmes d'acoustique liés à l'atténuation différentielle du son émis par les différents instruments, notamment du fait de l'influence de la fréquence du son sur la directivité de l'émission par les haut-parleurs. L'exercice propose de modéliser cette situation à partir de données expérimentales.

Données:

Fréquences correspondant à certaines notes de musique:

Note · Do1 · La1 · Mi2 · Ré3 · Do4 · Fa4 · Si4

Fréquence (Hz) · 65,4 · 110 · 165 · 294 · 523 · 698 · 988

Le niveau sonore $L$ (en dB) d'une onde sonore est relié à son intensité acoustique $I$ (en $\text{W}\cdot\text{m}^{-2}$) par la relation:$$L = 10 \log\left(\frac{I}{I_0}\right),$$où $I_0 = 10^{-12}\ \text{W}\cdot\text{m}^{-2}$ et $\log$ désigne le logarithme décimal.

Étude expérimentale

Pour étudier la variation du niveau sonore du signal lors de sa propagation, on mesure celui-ci à l'aide d'un sonomètre, placé à différentes distances de la source dans une direction donnée (document 1).

Un générateur connecté aux enceintes permet d'émettre deux notes distinctes: un La1 puis un Fa4. Les mesures obtenues pour chaque note figurent dans le document 2.

Document 2 - Tableau des mesures des niveaux sonores Distance $d$ (m) · 10 · 20 · 30 · 50 · 70 · 90 · 100 · 110

$L_1$ pour le La1 (dB) · 102,0 · 95,6 · 94,6 · 84,0 · 81,6 · 80,3 · 78,7 · 78,7

$L_2$ pour le Fa4 (dB) · 97,0 · 95,7 · 88,0 · 89,6 · 85,3 · 82,1 · 81,2 · 79,0

On détermine ensuite des modèles numériques (valables pour une distance supérieure à $1\text{ m}$), donnant les niveaux sonores de chaque note en fonction de la distance.

Sur la base de ces modèles, on obtient les expressions suivantes:

pour le La1: $L_1 = 125 - 10\ln(d)$;

pour le Fa4: $L_2 = 117 - 7{,}5\ln(d)$,

où $d$ est exprimé en $\text{m}$, $L_1$ et $L_2$ sont exprimés en $\text{dB}$ et $\ln$ désigne le logarithme népérien.

On étudie mathématiquement le modèle obtenu en introduisant les fonctions $f$ et $g$ définies sur $[1; +\infty[$ par:

$$f(x) = 125 - 10\ln(x) \quad \text{et} \quad g(x) = 117 - 7{,}5\ln(x)$$

Ces fonctions modélisent respectivement les niveaux sonores du La1 et du Fa4 en fonction de la distance.

Q5.

Déterminer une expression de $f'(x)$ où $f'$ est la fonction dérivée de $f$ sur $[1; +\infty[$.

On modifie désormais les réglages d'émission pour améliorer la qualité du son. Les expressions des nouvelles fonctions décrivant la dépendance de $L_1$ et $L_2$ avec la distance sont alors:

$$f_m(x) = 148 - 10\ln(x) \quad \text{et} \quad g_m(x) = 136 - 7{,}5\ln(x)$$

respectivement, pour les notes La1 et Fa4.

Q6.

Résoudre l'équation $f_m(x) = g_m(x)$ correspondant à $148 - 10\ln(x) = 136 - 7{,}5\ln(x)$ (arrondir le résultat à $10^{-1}$).

$x =$

En déduire la distance $d_m$ des enceintes à laquelle doit se trouver le public pour que les deux notes aient le même niveau sonore.

Q7.

Pour les réglages modifiés, calculer le niveau sonore du son reçu par les spectateurs à la distance $d_m$ des enceintes pour chacune des notes.