Exercice B - Position de l'ISS en temps réel · Bac Sciences de l'Ingénieur Métropole 2025 (sujet 2)

EXERCICE B – Position de l'ISS en temps réel

La station spatiale internationale (ISS) est en orbite quasi circulaire autour de la Terre. Elle abrite un équipage d'astronautes qui se consacrent à la recherche scientifique dans un environnement spatial.

Il est possible de suivre la position de la station ISS en temps réel sur le site Astropleiades:

http://www.astropleiades.fr/pages/multimedia/ou-se-trouve-l-iss.html

Le site fournit une modélisation de la trajectoire de l'ISS dans le référentiel terrestre au cours du temps. Il donne aussi des mesures effectives de l'altitude $h$ de l'ISS par rapport au sol et de sa vitesse $v$ dans le référentiel géocentrique à un instant donné.

Le site affiche aussi la trajectoire lors du précédent passage et celle du futur passage.

On peut observer sur cette carte la modélisation du jour (zone éclairée) et de la nuit (zone sombre) des différentes parties du globe terrestre à la date d'observation.

L'objectif de cet exercice est de vérifier le nombre total (arrondi à l'entier le plus proche) de levers et de couchers de Soleil auquel les astronautes assistent chaque jour à partir des données fournies par le site Astropleiades.

Données:

– rayon de la Terre: $R_T = 6,37 \times 10^6\text{ m}$;

– constante de gravitation universelle: $G = 6,67 \times 10^{-11}\text{ m}^3\cdot\text{kg}^{-1}\cdot\text{s}^{-2}$;

– masse de la Terre: $M_T = 5,97 \times 10^{24}\text{ kg}$.

On choisit de modéliser le mouvement du satellite par le mouvement circulaire uniforme de son centre de masse S sous l'action de la seule force d'attraction gravitationnelle exercée par la Terre dans le référentiel géocentrique supposé galiléen au regard des distances et des durées mises en jeu.

Q1.

Réaliser un schéma simple, sans souci des proportions mises en jeu, de la situation et y faire figurer la force d'attraction gravitationnelle $\vec{F}$ exercée par la Terre sur le point S, le rayon $R_T$ de la Terre, l'altitude $h$ à laquelle évolue la station ISS et les vecteurs unitaires $\vec{u}_n$ et $\vec{u}_t$ de la base de Frenet placée en S.

Q2.

En appliquant la deuxième loi de Newton, établir l'expression du vecteur accélération $\vec{a}$ de S.

Q3.

Représenter, sans souci des proportions, le vecteur accélération $\vec{a}$ sur le schéma réalisé à la question Q1, après avoir précisé sa direction et son sens.

Q4.

Montrer que l'expression de la valeur $v$ de la vitesse de l'ISS évoluant autour de la Terre à l'altitude $h$ s'écrit:

$$v = \sqrt{\frac{G M_T}{R_T + h}}$$

Q5.

Déduire, en exploitant la relation précédente, l'expression de la masse $M_T$ de la Terre en fonction de $v$, $R_T$, $G$ et $h$.

Q6.

Relever les valeurs d'altitude et de vitesse sur la capture d'écran réalisée à 15h15 de la figure 1 puis effectuer le calcul de la masse de la Terre $M_T$ en supposant que la vitesse et l'altitude sont à peu près constantes.

Q7.

Calculer la durée d'une révolution de l'ISS. Justifier la cohérence du résultat avec la figure 1.

Q8.

Les astronautes, à bord de l'ISS, assistent à environ 16 levers et couchers de Soleil par jour. Vérifier cette affirmation par un calcul simple.