Partie 2 - Exercice A : En orbite autour de la Lu… · Bac Sciences de l'Ingénieur Métropole 2 remplacement 2021

Thème : Sciences physiques – Mouvement dans un champ de gravitation : satellites et lois de Kepler · Tiré du sujet Métropole France 2 remplacement (2021)

Énoncé

Le 16 juillet 1969, la fusée Saturne V quitte Cap Canaveral (USA). Quelques heures plus tard, trois astronautes se retrouvent dans le module de commande CSM, arrimé au module lunaire LM « Eagle ».

Arrivés en orbite lunaire, N. Armstrong et B. Aldrin pénètrent dans le LM « Eagle » qui se détache du CSM où ne reste que M. Collins.

Données

Masse de la Lune

ML=7,34×1022M_L = 7{,}34\times 10^{22} kg

Rayon de la Lune

RL=1,74×103R_L = 1{,}74\times 10^{3} km

Constante de gravitation

G=6,67×10−11G = 6{,}67\times 10^{-11} m3^3·kg−1^{-1}·s−2^{-2}

Champ de pesanteur lunaire

gL=1,6g_L = 1{,}6 N·kg−1^{-1}

Le CSM est en orbite supposée circulaire autour de la Lune à une altitude de 110 km. Le LM « Eagle » descend vers la Lune. Il est alors à plus de 350 000 km de la Terre.

L'étude qui suit se fait dans le référentiel lunocentrique supposé galiléen. On ne tient compte que de l'action de la Lune sur le CSM.

1.

Reproduire le schéma précédent en indiquant la direction dans laquelle se situe le Soleil par rapport à la Lune. Représenter sur ce schéma, sans souci d'échelle, le vecteur force qui permet au CSM de rester en orbite circulaire autour de la Lune.

2.

Montrer, en appliquant la deuxième loi de Newton, que l'accélération du CSM est indépendante de sa masse.

3.

En déduire l'expression de la vitesse vv du CSM en fonction de GG, MLM_L et rr, où rr est la distance séparant le CSM du centre de la Lune.

4.

Établir la relation donnant la période de révolution TT du CSM:

T2=4π2r3GMLT^2 = \frac{4\pi^2 r^3}{GM_L}

5.

h

6.

M. Collins, en orbite autour de la Lune, perd le contact radio avec la Terre pendant une durée d'environ 50 min au cours de chaque révolution. Sans estimer cet ordre de grandeur, proposer une explication à ce phénomène en s'appuyant sur un schéma commenté.

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Corrigé

Corrigé établi d’après les éléments de correction officiels

1. Reproduire le schéma précédent en indiquant la direction dans laquelle se situe le Soleil par rapport à la Lune. Représenter sur ce schéma, sans souci d'échelle, le vecteur force qui permet au CSM de rester en orbite circulaire autour de la Lune.

Réponse :

2. Montrer, en appliquant la deuxième loi de Newton, que l'accélération du CSM est indépendante de sa masse.

Réponse : ma⃗=F⃗L/CSM⇒ma⃗=GmML(RL+h)2⋅uN⃗⇒a⃗=GML(RL+h)2⋅uN⃗m\vec{a}=\vec{F}_{L/CSM} \Rightarrow m\vec{a}=\dfrac{GmM_L}{(R_L+h)^2}\cdot\vec{u_N} \Rightarrow \vec{a}=\dfrac{GM_L}{(R_L+h)^2}\cdot\vec{u_N}

3. En déduire l'expression de la vitesse v du CSM en fonction de G, M_L et r, où r est la distance séparant le CSM du centre de la Lune.

Réponse : v=GMLrv=\sqrt{\dfrac{GM_L}{r}}

4. Établir la relation donnant la période de révolution T du CSM : T2=4π2r3GMLT^2=\dfrac{4\pi^2r^3}{GM_L}.

Réponse : T2=4π2r3GMLT^2=\dfrac{4\pi^2r^3}{GM_L}

5. Calculer la période de révolution T en heure.

Réponse : T=7,14×103T=7{,}14\times 10^{3} s =1,98=1{,}98 h

6. M. Collins, en orbite autour de la Lune, perd le contact radio avec la Terre pendant une durée d'environ 50 min au cours de chaque révolution. Sans estimer cet ordre de grandeur, proposer une explication à ce phénomène en s'appuyant sur un schéma commenté.

Réponse : Lorsque la Lune s'interpose entre la Terre et le CSM, celui-ci ne reçoit plus les ondes radio émises depuis la Terre. Cela dure environ une demi-période, soit 0,99 h, c'est-à-dire 59 min, ce qui est cohérent avec l'indication de l'énoncé.

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