Partie 2 - Exercice A · Bac Sciences de l'Ingénieur Métropole 2021 (sujet 2)

EXERCICE A – Le déploiement des satellites Starlink

Le projet Starlink vise à fournir un accès Internet à la totalité de la population mondiale grâce à une flotte de plusieurs milliers de satellites. Ces satellites sont plats et compacts, ils n'utilisent qu'un seul panneau voltaïque. Ils sont dotés de quatre antennes puissantes, assurant un fort débit.

« D'après Starlink.com, wikipedia et futura-sciences ».

Les satellites Starlink sont transportés dans une fusée Falcon 9, puis déployés les uns derrière les autres à une altitude d'environ 400 km. Ils rejoignent ensuite leur orbite finale en utilisant leur propulseur ionique.

Données

constante universelle de gravitation: $G = 6{,}67\times 10^{-11}$ m³·kg⁻¹·s⁻²; masse de la Terre: $M_T = 5{,}97\times 10^{24}$ kg; rayon moyen de la Terre: $R_T = 6371$ km; masses des atomes: xénon $m_{Xe} = 2{,}2\times 10^{-25}$ kg, krypton $m_{Kr} = 1{,}4\times 10^{-25}$ kg; charge électrique élémentaire: $e = 1{,}60\times 10^{-19}$ C.

Passage du « train Starlink3 » au-dessus de la Nouvelle-Zélande le 31 Janvier 2020 à 22 h 04 min 11 s et 22 h 04 min 21 s

(D'après Astrofarmer Imaging NZ)

Les satellites sont largués de manière à se suivre les uns derrière les autres. Ils forment ainsi dans le ciel un segment de points lumineux appelé « train ». On suppose, pour simplifier que le mouvement des satellites est rectiligne uniforme pendant la durée d'observation. Le cercle blanc identifie la tête du train.

Principe de fonctionnement du propulseur ionique

Des électrons sont accélérés par une cathode. Ils arrachent, par collision, un électron aux atomes de krypton qui deviennent des ions positifs. Ils sont accélérés par le champ électrique régnant entre les deux grilles. Ils sont alors éjectés à grande vitesse, ce qui génère la poussée du moteur. Après leur sortie du propulseur, les ions krypton sont transformés en atomes krypton par un faisceau d'électrons, afin de maintenir la neutralité électrique du satellite et du gaz éjecté.

1.

Exploiter les clichés datés du ciel pour estimer la valeur de la vitesse de la tête du train de satellites.

2.

Dans le référentiel géocentrique, le mouvement d'un satellite Starlink peut être modélisé par un mouvement circulaire, de rayon $R$, à la vitesse $v$.

Reproduire le schéma en y faisant figurer la base de Frenet et donner l'expression du vecteur accélération $\vec{a}$ d'un satellite dans le repère de Frenet.

3.

Établir que le mouvement circulaire du satellite est uniforme.

4.

Donner l'expression de la vitesse $v$ du satellite en fonction de $G$, $M_T$ et $R$.

Calculer la valeur de la vitesse pour l'altitude $h = 380$ km.

5.

Proposer au moins une raison permettant d'expliquer un éventuel écart entre les valeurs des vitesses obtenues aux questions 1 et 4.

Au cours de sa révolution, un satellite n'utilise pas son propulseur, son mouvement est simplement assujetti à l'attraction gravitationnelle et il vérifie la 3e loi de Kepler:

$$T^2 = \frac{4\pi^2}{G.M_T}.R^3$$

avec la période $T$ et le rayon de l'orbite $R$.

6.

Rappeler les conditions pour qu'un satellite soit géostationnaire. Indiquer si le satellite Starlink est géostationnaire.

Le propulseur est un propulseur au krypton, moins performant que le propulseur au xénon, mais dix fois moins coûteux. Le système {satellite et son équipement} subit une force appelée force de poussée liée à l'éjection des atomes par le propulseur.

7.

Comparer la force d'origine électrostatique exercée par les grilles sur un ion krypton Kr⁺ avec celle exercée par les mêmes grilles portées aux mêmes potentiels sur un ion xénon Xe⁺. On considère que le nombre d'ions xénon Xe⁺ éjectés par seconde est identique à celui d'ions krypton Kr⁺ éjectés par seconde.

8.

En raisonnant sur les masses des ions d'une part et sur les masses des carburants d'autre part, discuter qualitativement l'intérêt de l'utilisation d'un moteur au xénon par rapport à un moteur au krypton.