Exercice B - La trajectoire du satellite SOHO · Bac Sciences de l'Ingénieur Métropole 2 remplacement 2022

Q1. Justifier, à l'aide d'une analyse conduite dans le repère de Frenet, que le mouvement du satellite SOHO est uniforme.

Réponse : Les forces gravitationnelles sont dirigées uniquement selon $\vec{u}_n$, donc pas de composante tangentielle de l'accélération : $\dfrac{dv}{dt} = 0$, soit $v = cte$, le mouvement est donc uniforme.

Q2. À l'aide d'un argument géométrique, montrer que la période de révolution du satellite SOHO autour du Soleil est la même que celle de la Terre autour du Soleil.

Réponse : Le satellite est toujours situé à la même position sur l'axe Terre-Soleil. Lorsque la Terre décrit une révolution, SOHO aussi. La période est donc la même.

Q3. Énoncer la troisième loi de Kepler, l'exprimer dans le cas de la Terre. Montrer alors, à l'aide de la question 2, que la troisième loi de Kepler n'est pas vérifiée dans le cas de l'étude du mouvement du satellite SOHO autour du Soleil.

Réponse : La 3e loi de Kepler s'écrit $\dfrac{T^2}{a^3} = constante$. Dans le cas de la Terre et de SOHO, en orbite autour du Soleil, on aurait $\dfrac{T_T^2}{R_T^3} = \dfrac{T_{Soho}^2}{a_{Soho}^3}$. Or ici, la période de SOHO est la même que celle de la Terre alors que le rayon n'est pas le même, donc Kepler pas vérifiée.

Q4. Reproduire sur la copie le schéma de la figure 1 ci-dessus et y représenter qualitativement les forces gravitationnelles $\vec{F}_{S/SOHO}$ et $\vec{F}_{T/SOHO}$.

Réponse : Le schéma reproduit la figure 1 (Soleil, L1/SOHO, Terre alignés). On trace $\vec{F}_{Soleil/B}$ depuis SOHO vers le Soleil (vers la gauche) et $\vec{F}_{Terre/B}$ depuis SOHO vers la Terre (vers la droite), les deux forces étant portées par l'axe Soleil-Terre, sans souci d'échelle.

Q5. Compte tenu de la trajectoire du satellite, déterminer laquelle des deux forces $\vec{F}_{S/SOHO}$ et $\vec{F}_{T/SOHO}$ est la plus intense. Justifier précisément la réponse.

Réponse : L'accélération doit être centripète (dirigée vers le Soleil) pour obtenir le mouvement circulaire autour du Soleil (voir aussi question 1). En raisonnant dans le repère de Frénet, la résultante des forces est orientée vers le Soleil, donc sa force prédomine sur celle de la Terre : $\vec{F}_{S/SOHO}$ est la plus intense.

Q6. Déterminer la valeur du rapport $\dfrac{\|\vec{F}_{S/SOHO}\|}{\|\vec{F}_{T/SOHO}\|}$.

Réponse : 34

Q6 (commentaire). Commenter la valeur du rapport.

Réponse : Ce facteur est cohérent avec la question précédente.

Q7. Proposer une explication qualitative au fait que la troisième loi de Kepler soit valable dans le cas du Système solaire, mais pas pour SOHO.

Réponse : Dans le cas du Système Solaire, les interactions entre les planètes peuvent être négligées devant la force qu'exerce le Soleil sur chacune d'elles. Tout se passe comme s'il n'y avait que des systèmes à deux corps. On reste dans le domaine de validité de la 3e loi. Dans le cas du système Terre-Soleil-SOHO, les forces de la Terre et du Soleil exercées sur SOHO doivent être prises en compte. Ce n'est plus un système à deux corps.

Q8. Justifier de l'intérêt de placer le satellite SOHO à cet endroit particulier du système Terre-Soleil.

Réponse : Le satellite est toujours face au Soleil, tout en restant près de la Terre, ce qui facilite les observations et les communications. On acceptera toute autre résultat cohérent.