Sujet du Bac Sciences de l'Ingénieur 2025 · Métropole 1

Sous-partie 1 – Optimisation de l'autonomie

L'objectif de cette sous-partie est de vérifier le dimensionnement de la batterie et d'analyser les choix de conception permettant d'optimiser l'autonomie du drone.

Partie 1 - Sciences de l'ingénieur

Drone de prises de vues sous-marines

L’étude porte sur un drone submersible permettant de faire des prises de vues sous-marines en haute qualité jusqu’à une profondeur de 150 m, dans une plage de température de -5°C à +35°C. Ce drone embarque une batterie qui lui confère une autonomie importante. Utilisé dans de nombreux domaines tels que l’aquaculture, la défense, les énergies offshore ou l’inspection de navires, il permet aux utilisateurs de rester à la surface de l’eau tout en réalisant des inspections sous-marines.

Le drone est relié par un câble extra-souple à un module de surface (figure 1). Ce câble transmet de manière bi-directionnelle les informations liées au contrôle du drone et à la prise de vue.

Un module de surface est intégré dans l’enrouleur du câble et est connectable, via une liaison WiFi, à un terminal mobile (Android ou iOS) sur lequel une application dédiée réalise l’interface homme-machine permettant:

la transmission des images et la visualisation en temps-réel;

le pilotage du drone.

Le pilotage du drone et sa stabilité sont réalisés au moyen de quatre propulseurs illustrés à la figure 2:

deux propulseurs assurent la poussée longitudinale (vers l’avant ou l’arrière) avec une répartition modulable entre la droite et la gauche;

un propulseur monté dans un carénage traversant assure la correction latérale vers la droite ou vers la gauche;

le propulseur vertical, monté également dans un carénage traversant, assure la propulsion vers le haut ou vers le bas.

Chaque propulseur est constitué d’une hélice montée en prise directe sur un moteur électrique asservi en vitesse.

Le diagramme partiel des exigences du drone sous-marin est représenté sur la figure 3.

Question 1.1

À l'aide de la figure 3, montrer que l'énergie stockée dans la batterie à pleine charge est d'environ $96\text{ W}\cdot\text{h}$.

Le projecteur à LED, positionné sur la face avant du drone, permet d'éclairer les fonds sous-marins avec une intensité lumineuse maximale de $3300\text{ lm}$ (le lumen, symbole $\text{lm}$, est l'unité de mesure de l'intensité lumineuse). La consommation de différents types de sources lumineuses est fournie figure 4.

Intensité lumineuse (lm) · LED · Ampoules halogènes · Tubes fluo et ampoules économiques · Lampes à vapeur de sodium

400-550 · 5 W · 35 W · - · -

800-1100 · 10 W · 80 W · 20 W · -

1400-1800 · 15 W · 120 W · 30 W · -

2200-4400 · 30 W · 200 W · 60 W · 80 W

4800-6600 · 60 W · 400 W · 120 W · 100 W

7200-9900 · 90 W · 550 W · 180 W · 150 W

9600-13200 · 120 W · 750 W · 240 W · 200 W

12800-17600 · 15 W · 900 W · 300 W · 250 W

Figure 4: consommation de différents types de sources lumineuses

Afin d'assurer le fonctionnement du drone, celui-ci est pourvu de différents capteurs (profondeur, température, centrale inertielle). La caméra ainsi que ces capteurs entrainent une puissance consommée de $6\text{ W}$.

Question 1.2

À l'aide de la figure 4, déterminer la puissance consommée par le projecteur à LED. À partir des données de la figure 3, compléter le tableau du document réponse DR1 en y indiquant la puissance consommée pour chacun des éléments.

Éléments du drone · Puissance consommée

Caméra + capteurs · 6 W

Projecteur à LED · W

Propulseur longitudinal gauche · W

Propulseur longitudinal droit · W

Propulseur vertical · W

Propulseur transversal · W

L'autonomie du drone est vérifiée sur un parcours-type: descente pendant 1 minute à la vitesse de $0{,}8\text{ m}\cdot\text{s}^{-1}$, avec le propulseur vertical à puissance maximale ($350\text{ W}$);

exploration sous-marine à profondeur quasi-constante, d'une durée de 30 minutes, les deux propulseurs longitudinaux développant en moyenne dans cette phase 15 % de leur puissance maximale;

remontée pendant 1 minute à la vitesse de $0{,}8\text{ m}\cdot\text{s}^{-1}$, avec le propulseur vertical à puissance maximale ($350\text{ W}$).

Pendant ces trois phases, les différents autres éléments consomment $40\text{ W}$.

Pour garantir une utilisation optimale de la batterie, le constructeur conseille de ne pas aller au-delà de 10 % de charge restante (batterie déchargée à 90 %).

Question 1.5

Montrer que l'énergie consommée par le drone durant ce parcours-type vaut environ $85\text{ W}\cdot\text{h}$. Conclure quant à la capacité du drone à réaliser le parcours-type, tout en respectant la préconisation du constructeur.

Partie 1 - Sciences de l'ingénieur

Drone de prises de vues sous-marines

L’étude porte sur un drone submersible permettant de faire des prises de vues sous-marines en haute qualité jusqu’à une profondeur de 150 m, dans une plage de température de -5°C à +35°C. Ce drone embarque une batterie qui lui confère une autonomie importante. Utilisé dans de nombreux domaines tels que l’aquaculture, la défense, les énergies offshore ou l’inspection de navires, il permet aux utilisateurs de rester à la surface de l’eau tout en réalisant des inspections sous-marines.

Le drone est relié par un câble extra-souple à un module de surface (figure 1). Ce câble transmet de manière bi-directionnelle les informations liées au contrôle du drone et à la prise de vue.

Un module de surface est intégré dans l’enrouleur du câble et est connectable, via une liaison WiFi, à un terminal mobile (Android ou iOS) sur lequel une application dédiée réalise l’interface homme-machine permettant:

la transmission des images et la visualisation en temps-réel;

le pilotage du drone.

Le pilotage du drone et sa stabilité sont réalisés au moyen de quatre propulseurs illustrés à la figure 2:

deux propulseurs assurent la poussée longitudinale (vers l’avant ou l’arrière) avec une répartition modulable entre la droite et la gauche;

un propulseur monté dans un carénage traversant assure la correction latérale vers la droite ou vers la gauche;

le propulseur vertical, monté également dans un carénage traversant, assure la propulsion vers le haut ou vers le bas.

Chaque propulseur est constitué d’une hélice montée en prise directe sur un moteur électrique asservi en vitesse.

Le diagramme partiel des exigences du drone sous-marin est représenté sur la figure 3.

La flottabilité caractérise la tendance d'un corps à flotter ou couler spontanément. Cette caractéristique dépend non seulement du poids de ce corps, mais également de la poussée d'Archimède qu'il subit lorsqu'il est immergé. Cette force, dirigée vers le haut, est d'autant plus importante que la teneur de l'eau en sel est élevée.

Le constructeur livre le drone (8,38 kg) avec deux masses additionnelles de 110 g (lest) qui permettent d'adapter sa flottabilité à la nature de l'eau dans laquelle il est utilisé. Il est conseillé d'utiliser ce lest selon les préconisations du tableau de la figure 5.

Nature de l'eau · Préconisation de lest

Eau douce (non salée) · Aucun lest

Eau saumâtre (moyennement salée) · 1 masse additionnelle

Eau de mer (salée) · 2 masses additionnelles

Figure 5: préconisations d'utilisation du lest

Le diagramme de la figure 6 représente l'évolution de la poussée d'Archimède en fonction de la salinité (exprimée en grammes de sel pur par kilogramme d'eau salée), ainsi que le poids du drone selon qu'il est lesté ou pas avec les masses additionnelles.

L'utilisateur est suffisamment expérimenté pour choisir, en fonction de l'eau dans laquelle il utilise le drone, la meilleure configuration possible: aucun lest, une masse additionnelle, ou deux.

Lorsque l'écart entre le poids du drone et la poussée d'Archimède reste inférieur à 0,8 N (environ 1 % du poids total), la flottabilité de l'engin est dite « neutre »: le drone n'a quasiment aucune tendance à remonter vers la surface ni à s'enfoncer vers le fond.

Question 1.3

À l'aide du diagramme de la figure 6, estimer l'écart maximal entre le poids du drone et la poussée d'Archimède pour une salinité comprise entre 0 et 40 g·kg⁻¹. Vérifier que la flottabilité est neutre.

Question 1.4

Expliquer pourquoi l'utilisation des masses additionnelles constitue une solution simple pour réduire la consommation du drone lorsqu'il doit se maintenir à une profondeur constante.

Partie 1 - Sciences de l'ingénieur

Drone de prises de vues sous-marines

L’étude porte sur un drone submersible permettant de faire des prises de vues sous-marines en haute qualité jusqu’à une profondeur de 150 m, dans une plage de température de -5°C à +35°C. Ce drone embarque une batterie qui lui confère une autonomie importante. Utilisé dans de nombreux domaines tels que l’aquaculture, la défense, les énergies offshore ou l’inspection de navires, il permet aux utilisateurs de rester à la surface de l’eau tout en réalisant des inspections sous-marines.

Le drone est relié par un câble extra-souple à un module de surface (figure 1). Ce câble transmet de manière bi-directionnelle les informations liées au contrôle du drone et à la prise de vue.

Un module de surface est intégré dans l’enrouleur du câble et est connectable, via une liaison WiFi, à un terminal mobile (Android ou iOS) sur lequel une application dédiée réalise l’interface homme-machine permettant:

la transmission des images et la visualisation en temps-réel;

le pilotage du drone.

Le pilotage du drone et sa stabilité sont réalisés au moyen de quatre propulseurs illustrés à la figure 2:

deux propulseurs assurent la poussée longitudinale (vers l’avant ou l’arrière) avec une répartition modulable entre la droite et la gauche;

un propulseur monté dans un carénage traversant assure la correction latérale vers la droite ou vers la gauche;

le propulseur vertical, monté également dans un carénage traversant, assure la propulsion vers le haut ou vers le bas.

Chaque propulseur est constitué d’une hélice montée en prise directe sur un moteur électrique asservi en vitesse.

Le diagramme partiel des exigences du drone sous-marin est représenté sur la figure 3.

Sous-partie 2: Pilotage et contrôle des mouvements

L'objectif de cette sous-partie est d'analyser la stabilité du drone en inclinaison et de valider ses performances dynamiques lorsqu'il navigue vers l'avant.

Dans l'ensemble de cette sous-partie, le drone est assimilé à un unique solide indéformable S, évoluant dans un fluide au repos (aucun mouvement de l'eau par rapport au référentiel terrestre). Le repère utilisé pour l'étude est défini par rapport à la géométrie du drone lorsque celui-ci se trouve en position verticale (figure 7):

direction $\vec{z}$ verticale, dirigée du bas vers le haut;

direction $\vec{x}$ horizontale, dirigée de l'arrière vers l'avant;

direction $\vec{y}$ horizontale, parallèle à l'axe du propulseur transversal.

Le comportement mécanique du drone sous l'eau est conditionné par:

la position de son centre de gravité G (figure 7) et l'intensité du poids $\vec{P}_{\text{pes}\to\text{S}}$;

la poussée d'Archimède $\vec{P}_{\text{eau}\to\text{S}}$ (force verticale), dont le point d'application C se trouve au centre géométrique du volume occupé par le drone sous l'eau (figure 7);

la poussée générée par chacun des propulseurs;

la résistance hydrodynamique de l'eau qui s'oppose aux mouvements dès que le drone se déplace sous l'eau.

Question 1.6

Afin de compenser le poids important de la batterie, une partie de la coque du drone est remplie d'une mousse polymère (moins dense que l'eau). Sans faire de calculs, expliquer comment doivent être disposées la mousse et la batterie à l'intérieur de la coque pour que le centre de gravité G du drone se trouve en dessous du point C.

Dans un premier temps, le comportement du drone est étudié lorsque les propulseurs sont tous à l'arrêt. La résistance hydrodynamique de l'eau est négligée (mouvements lents et de faible amplitude). Parmi les six degrés de liberté du drone, le « tangage » et le « roulis » désignent respectivement l'inclinaison autour de $\vec{y}$ et l'inclinaison autour de $\vec{x}$.

La position du centre de gravité G par rapport au centre géométrique C est définie par: $\vec{CG} = e_x \cdot \vec{x} + e_y \cdot \vec{y} - e_z \cdot \vec{z}$.

Question 1.7

En utilisant le théorème de la résultante statique, établir une relation entre les forces $\vec{P}_{\text{pes}\to\text{S}}$ et $\vec{P}_{\text{eau}\to\text{S}}$. En utilisant le théorème du moment statique, justifier par le calcul que $e_x = e_y = 0$ et en déduire les conditions à respecter pour que le drone n'ait ni tangage ni roulis lorsque les propulseurs sont à l'arrêt.

Dans un second temps, les performances dynamiques du drone sont analysées lorsque celui-ci évolue à une profondeur constante, dans un mouvement de translation rectiligne vers l'avant (figure 8), avec les propulseurs longitudinaux exerçant une poussée identique:

le contrôle est assuré par la poussée des deux propulseurs longitudinaux (gauche et droite): $\vec{F}_{g\to\text{S}} = +T\cdot\vec{x}$ au point A et $\vec{F}_{d\to\text{S}} = +T\cdot\vec{x}$ au point B;

la résistance de l'eau est assimilable à une unique force horizontale de traînée $\vec{R}_{\text{eau}\to\text{S}} = -R\cdot\vec{x}$ au point C.

Question 1.8

À l'aide du théorème de la résultante dynamique en projection sur $\vec{x}$, établir la relation entre la poussée $T$ de chaque propulseur, la traînée $R$, l'accélération $a$ et la masse $m$ du drone dans le sens du mouvement.

Partie 1 - Sciences de l'ingénieur

Drone de prises de vues sous-marines

L’étude porte sur un drone submersible permettant de faire des prises de vues sous-marines en haute qualité jusqu’à une profondeur de 150 m, dans une plage de température de -5°C à +35°C. Ce drone embarque une batterie qui lui confère une autonomie importante. Utilisé dans de nombreux domaines tels que l’aquaculture, la défense, les énergies offshore ou l’inspection de navires, il permet aux utilisateurs de rester à la surface de l’eau tout en réalisant des inspections sous-marines.

Le drone est relié par un câble extra-souple à un module de surface (figure 1). Ce câble transmet de manière bi-directionnelle les informations liées au contrôle du drone et à la prise de vue.

Un module de surface est intégré dans l’enrouleur du câble et est connectable, via une liaison WiFi, à un terminal mobile (Android ou iOS) sur lequel une application dédiée réalise l’interface homme-machine permettant:

la transmission des images et la visualisation en temps-réel;

le pilotage du drone.

Le pilotage du drone et sa stabilité sont réalisés au moyen de quatre propulseurs illustrés à la figure 2:

deux propulseurs assurent la poussée longitudinale (vers l’avant ou l’arrière) avec une répartition modulable entre la droite et la gauche;

un propulseur monté dans un carénage traversant assure la correction latérale vers la droite ou vers la gauche;

le propulseur vertical, monté également dans un carénage traversant, assure la propulsion vers le haut ou vers le bas.

Chaque propulseur est constitué d’une hélice montée en prise directe sur un moteur électrique asservi en vitesse.

Le diagramme partiel des exigences du drone sous-marin est représenté sur la figure 3.

Sous-partie 2 – Modélisation multi-physique et simulation

L'intensité $T$ de la poussée d'un propulseur dépend de la fréquence de rotation $n$ de son hélice et de la vitesse linéaire $V$ du drone. Afin de pouvoir intégrer un modèle fiable de propulseur dans une simulation multiphysique, l'un d'eux a été testé sur un banc d'essai qui enregistre sa poussée sur des séquences de 5 secondes, pour différentes valeurs de $n$ et $V$ (figure 9).

Question 1.9

Pour chaque configuration expérimentale présentée à la figure 9, indiquer la valeur moyenne de la poussée $T$ mesurée durant l'essai. Décrire succinctement l'évolution de $T$ en fonction de $n$ et $V$.

Le modèle multiphysique utilisé pour simuler le comportement dynamique du drone est représenté sur le document réponse DR2.

Question 1.10

Justifier la présence du bloc « ×2 » dans le modèle multiphysique. Repasser en couleur, sur le document réponse DR2, la connexion qui, dans ce modèle, permet de prendre en compte la vitesse du drone dans le calcul de la poussée.

Le modèle multiphysique est utilisé pour simuler le comportement dynamique du drone, initialement à l'arrêt, à partir de l'instant où les propulseurs longitudinaux sont actionnés, puis maintenus à une fréquence de rotation constante. La fiche de spécifications techniques du constructeur annonce:

une consommation maximale de 350 W pour chaque propulseur;

une vitesse maximale de 1,5 m·s -1 pour le drone.

Les résultats de simulation sont représentés sur la figure 10.

Question 1.11

Valider les caractéristiques annoncées par le constructeur en utilisant les résultats de simulation présentés à la figure 10. Justifier l'évolution des signaux 2, 3 et 4 au cours du temps.

Partie 1 - Sciences de l'ingénieur

Drone de prises de vues sous-marines

L’étude porte sur un drone submersible permettant de faire des prises de vues sous-marines en haute qualité jusqu’à une profondeur de 150 m, dans une plage de température de -5°C à +35°C. Ce drone embarque une batterie qui lui confère une autonomie importante. Utilisé dans de nombreux domaines tels que l’aquaculture, la défense, les énergies offshore ou l’inspection de navires, il permet aux utilisateurs de rester à la surface de l’eau tout en réalisant des inspections sous-marines.

Le drone est relié par un câble extra-souple à un module de surface (figure 1). Ce câble transmet de manière bi-directionnelle les informations liées au contrôle du drone et à la prise de vue.

Un module de surface est intégré dans l’enrouleur du câble et est connectable, via une liaison WiFi, à un terminal mobile (Android ou iOS) sur lequel une application dédiée réalise l’interface homme-machine permettant:

la transmission des images et la visualisation en temps-réel;

le pilotage du drone.

Le pilotage du drone et sa stabilité sont réalisés au moyen de quatre propulseurs illustrés à la figure 2:

deux propulseurs assurent la poussée longitudinale (vers l’avant ou l’arrière) avec une répartition modulable entre la droite et la gauche;

un propulseur monté dans un carénage traversant assure la correction latérale vers la droite ou vers la gauche;

le propulseur vertical, monté également dans un carénage traversant, assure la propulsion vers le haut ou vers le bas.

Chaque propulseur est constitué d’une hélice montée en prise directe sur un moteur électrique asservi en vitesse.

Le diagramme partiel des exigences du drone sous-marin est représenté sur la figure 3.

Sous-partie 3: Enregistrement des prises de vues sous-marines

L'objectif de cette sous-partie est d'analyser la gestion de la durée d'enregistrement de la caméra et l'affichage de cette durée dans l'interface utilisateur.

Une image au format numérique est caractérisée par:

sa définition avec: définition = nombre de pixels en hauteur × nombre de pixels en largeur;

sa taille avec: taille de l'image = définition × profondeur de couleur.

Le constructeur donne les caractéristiques de la caméra présentées figure 11:

Caméra

Définition en mode Full HD

1920 × 1080

Définition en mode HD

1280 × 720

Profondeur de couleur

24 bits

Figure 11: caractéristiques de la caméra du drone

Question 1.12

À l'aide des données de la figure 11, montrer par le calcul que la taille d'une image en full HD est d'environ 50 millions de bits.

La « profondeur de couleur » est un nombre de bits qui conditionne le nombre de couleurs distinctes que peut prendre chaque pixel dans l'image.

Question 1.13

Pour une profondeur de couleur de 24 bits, indiquer combien de bits sont disponibles pour coder l'intensité de chacune des trois couleurs de base (rouge, vert, bleu). En déduire le nombre de niveaux d'intensité qui peuvent être distingués pour chaque couleur de base.

Une vidéo est constituée d'images défilant suffisamment rapidement (30 images par seconde) pour que l'œil humain ne perçoive pas de saccades. Les fichiers sont enregistrés au format MP4, qui utilise un procédé mathématique complexe pour compresser la vidéo (taille finale divisée par 20), sans dégrader la qualité perçue.

Pour rappel:

1 Giga-octet (Go) = 1024 Mega-octets (Mo)

1 Mega-octet (Mo) = 1024 kilo-octets (ko)

1 kilo-octet (ko) = 1024 octets

Question 1.14

Dans le mode Full HD, calculer la taille en Giga-octets du fichier MP4 obtenu lors d'un parcours-type d'une durée de 30 minutes.

Pour la suite, la taille de la vidéo est de:

15,6 Go en mode Full HD;

7 Go en mode HD.

Le module de surface permet d'exploiter (télécharger ou visualiser en direct) la vidéo prise par le drone sous-marin.

Question 1.15

Dans le mode Full HD, calculer le nombre de parcours-type de 30 minutes que l'on peut stocker sur la carte SD de 64 Go.

Partie 1 - Sciences de l'ingénieur

Drone de prises de vues sous-marines

L’étude porte sur un drone submersible permettant de faire des prises de vues sous-marines en haute qualité jusqu’à une profondeur de 150 m, dans une plage de température de -5°C à +35°C. Ce drone embarque une batterie qui lui confère une autonomie importante. Utilisé dans de nombreux domaines tels que l’aquaculture, la défense, les énergies offshore ou l’inspection de navires, il permet aux utilisateurs de rester à la surface de l’eau tout en réalisant des inspections sous-marines.

Le drone est relié par un câble extra-souple à un module de surface (figure 1). Ce câble transmet de manière bi-directionnelle les informations liées au contrôle du drone et à la prise de vue.

Un module de surface est intégré dans l’enrouleur du câble et est connectable, via une liaison WiFi, à un terminal mobile (Android ou iOS) sur lequel une application dédiée réalise l’interface homme-machine permettant:

la transmission des images et la visualisation en temps-réel;

le pilotage du drone.

Le pilotage du drone et sa stabilité sont réalisés au moyen de quatre propulseurs illustrés à la figure 2:

deux propulseurs assurent la poussée longitudinale (vers l’avant ou l’arrière) avec une répartition modulable entre la droite et la gauche;

un propulseur monté dans un carénage traversant assure la correction latérale vers la droite ou vers la gauche;

le propulseur vertical, monté également dans un carénage traversant, assure la propulsion vers le haut ou vers le bas.

Chaque propulseur est constitué d’une hélice montée en prise directe sur un moteur électrique asservi en vitesse.

Le diagramme partiel des exigences du drone sous-marin est représenté sur la figure 3.

Sous-partie 3 - Algorithmique et programmation Python

L'interface utilisateur affiche en temps réel la durée d'enregistrement possible en fonction de l'espace mémoire encore disponible sur la carte. Pour cela, la fonction calcul_duree est utilisée. Elle a pour paramètres d'entrée la capacité de la carte, l'espace déjà occupé sur celle-ci et le mode d'acquisition (Full HD ou HD). Cette fonction renvoie comme valeur de sortie la durée restante.

Paramètre / Variable

Description

capacite_carte

Capacité nominale de carte en Go

taille_occupee

Espace occupé sur la carte en Go

mode_video

Mode d'acquisition:

0 pour le mode HD

1 pour le mode Full HD

duree_restante

Durée restante en minutes

Figure 12: paramètre de la fonction calcul_duree

Question 1.16 (DR3)

Compléter le code Python de la fonction calcul_duree:

def calcul_duree(capacite_carte, taille_occupee, mode_video):

# calcul de la duree restante sur la carte

taille_restante =

if mode_video ==:

debit = 0.5214 # en Go par minute

else:

debit = 0.2317 # en Go par minute

duree_restante =

return(duree_restante)

Partie 2: Sciences physiques

EXERCICE A - Un brin en matière synthétique

Les violonistes frottent habituellement leurs cordes à l'aide de brins en matière naturelle issus de la crinière de chevaux. De nouveaux brins en matière synthétique sont de plus en plus utilisés par les musiciens.

L'objectif de cet exercice est de déterminer le diamètre du nouveau brin en matière synthétique à l'aide du phénomène de diffraction et de le comparer au diamètre d'un brin prélevé sur la crinière de chevaux.

Données:

Longueur d'onde du laser: $\lambda = 6{,}5 \times 10^{-7}\text{ m}$ avec une incertitude-type $u(\lambda) = 0{,}1 \times 10^{-7}\text{ m}$;

Distance entre le brin et l'écran: $D = 1{,}7\text{ m}$;

Largeur de la tache centrale notée $L$, l'incertitude-type associée est $u(L) = 1 \times 10^{-3}\text{ m}$.

Le demi-angle caractéristique de diffraction $\theta$, en radians, a pour expression: $\theta = \frac{\lambda}{a}$; $\theta$ étant petit, on peut considérer que la valeur de la tangente de $\theta$ est égale à $\theta$: $\tan \theta = \theta$.

Q1.

À l'aide de la figure 1, donner l'expression de $\theta$ en fonction de la distance $D$ entre le brin et l'écran et de la largeur $L$ de la tache centrale.

Q2.

Montrer que le diamètre $a$ du brin en matière synthétique a pour expression $a = \frac{2D\lambda}{L}$.

Une simulation permet d'obtenir la distribution de l'intensité lumineuse sur l'écran:

Q3.

À l'aide de la figure 2, montrer que la valeur du diamètre $a$ du brin en matière synthétique est environ égale à $1{,}8 \times 10^{-4}\text{ m}$.

Une bonne estimation de l'incertitude-type associée à $a$ est donnée par la relation: $u(a) = a\, \frac{u(L)}{L}$

Q4.

Calculer l'incertitude-type $u(a)$ associée au diamètre du brin en matière synthétique.

Q5.

En tenant compte de l'incertitude-type, vérifier si le résultat du diamètre du brin en matière synthétique obtenu expérimentalement est en accord avec celui du brin issu de la crinière du cheval, qui vaut $1{,}7 \times 10^{-4}\text{ m}$.

EXERCICE B – Le destin funeste de la planète Kepler-1658b

L'exoplanète Kepler-1658b est la toute première exoplanète observée par le télescope spatial Kepler. Elle se trouve sur une orbite très proche de son étoile (le rayon de l'orbite est estimé à 7,25 millions de kilomètres), ce qui fait que la température de la planète est très élevée. C'est la première fois que des astronomes découvrent une exoplanète comme Kepler-1658b et son destin tragique: elle va tellement s'approcher de son étoile (figure 1) qu'elle finira par s'y écraser, signant ainsi sa complète destruction.

D'après Science&Vie le 2 janvier 2023

Et si elle se rapproche toujours au même rythme de son étoile, elle entrera en collision avec celle-ci dans près de trois millions d'années.

D'après: https://www.futura-sciences.com/

L'objectif de l'exercice est de modéliser le mouvement de la planète Kepler-1658b tout d'abord au cours d'une révolution, puis sur une échelle de temps plus longue.

Données:

– masse de la planète Kepler-1658b: $m_P = 1{,}12 \times 10^{28}\text{ kg}$;

– période de révolution de la planète Kepler-1658b autour de son étoile en 2023: $T = 3{,}85\text{ jours}$;

– masse de l'étoile Kepler-1658: $m_E = 2{,}88 \times 10^{30}\text{ kg}$;

– constante universelle de la gravitation: $G = 6{,}67 \times 10^{-11}\text{ N}\cdot\text{kg}^{-2}\cdot\text{m}^2$;

– on rappelle que pour une grandeur $A$: $\sqrt[3]{A} = A^{1/3}$.

La planète Kepler-1658b est assimilée à son centre de masse, P, dans le référentiel centré sur l'étoile Kepler-1658 et dont les axes pointent vers trois étoiles lointaines de directions à peu près constantes. On suppose ce référentiel galiléen au regard des durées et des distances mises en jeu. Dans un premier temps, on modélise la trajectoire de P par un cercle dont le rayon est noté $r$ et dont le centre correspond au centre de masse de l'étoile, noté E.

Q1.

Dans l'hypothèse d'un mouvement circulaire, schématiser la trajectoire de P autour de E sans souci d'échelle. Représenter le repère de Frenet associé à la planète en indiquant les vecteurs unitaires ($\vec{u}_t$, $\vec{u}_n$) constituant la base de ce repère.

Q2.

Déterminer, à l'aide de la deuxième loi de Newton, l'expression vectorielle de l'accélération de P, $\vec{a}_P$, en fonction de $G$, $m_E$, $r$ et de la base de Frenet.

Q3.

Dans cette hypothèse du mouvement circulaire, en déduire que le mouvement de P est uniforme et montrer que l'expression de la norme de son vecteur vitesse est:

$$v = \sqrt{\frac{G\,m_E}{r}}$$

On note $T$ la période de révolution de P autour de E.

Q4.

Montrer que l'expression du rayon de l'orbite de la planète représentée par le point P vérifie la relation:

$$r^3 = \frac{G\,m_E\,T^2}{4\pi^2}$$

Q5.

Déterminer la valeur de $r$ et la comparer avec les données de l'article de Science & Vie.

Dans leur article paru en décembre 2022, une équipe d'astronomes a montré que la valeur de la période de révolution de la planète Kepler-1658b diminuait de 131 ms par année terrestre.

Q6.

En admettant que cette diminution est invariante au cours du temps, vérifier qu'à chaque révolution, la période de révolution de la planète Kepler-1658b diminue de $\Delta T = 1{,}38\text{ ms}$.

Q7.

Comparer cette diminution avec la période de révolution et justifier que la période $T$ peut être considérée constante pour un faible nombre de révolutions.

Q8.

Déterminer qualitativement, à l'aide de l'expression donnée à la question Q4 qu'on supposera encore valide, si le rayon de l'orbite augmente ou diminue légèrement à chaque révolution.

Pour un grand nombre de révolutions, le mouvement de la planète Kepler-1658b est modélisé par une succession de trajectoires quasi circulaires dont le rayon varie à chaque révolution.

Q9.

Le calcul de la période de révolution de la planète juste avant l'impact prévoit une valeur beaucoup plus faible (1 600 s) que celle de 2023 indiquée dans les données. En considérant que la période diminue de 131 ms par année terrestre, confirmer la prévision « si elle se rapproche toujours au même rythme, elle entrera en collision avec celle-ci dans près de trois millions d'années ».

Le candidat est invité à prendre des initiatives, et à présenter la démarche suivie même si elle n'a pas abouti.