Exercice 1 - Parties 2 et 3 : Transferts thermiqu… · Bac Physique-Chimie Métropole 2 remplacement 2024

Exercice 1 - Vol en montgolfière (11 points)

Inventée à la fin du XVIII e siècle par les frères Montgolfier, la montgolfière est la première machine ayant permis à l'Homme de voler.

L'objectif de cet exercice est d'étudier l'envol d'une montgolfière ainsi que les transferts thermiques à travers son enveloppe.

1. L'envol de la montgolfière

Une montgolfière se compose de trois parties principales: une enveloppe dont le volume est considéré constant, un système de chauffage (brûleur avec réservoir de carburant) et une nacelle.

On étudie dans cette partie l'envol de la montgolfière dans le référentiel terrestre supposé galiléen. Dans cette modélisation, les seules forces prises en compte sont le poids de la montgolfière et la poussée d'Archimède exercée par l'air ambiant sur celle-ci.

Données:

masses molaires atomiques: $M(\mathrm{O}) = 16 \times 10^{-3}\ \mathrm{kg\cdot mol^{-1}}$, $M(\mathrm{N}) = 14 \times 10^{-3}\ \mathrm{kg\cdot mol^{-1}}$;

intensité de la pesanteur terrestre supposée constante: $g = 9{,}81\ \mathrm{m\cdot s^{-2}}$;

l'air, assimilé à un gaz parfait, est composé, en quantité de matière, de $80\ \%$ de diazote $\mathrm{N_2}$ et de $20\ \%$ de dioxygène $\mathrm{O_2}$;

constante des gaz parfaits: $R = 8{,}31\ \mathrm{J\cdot mol^{-1}\cdot K^{-1}}$;

conversion d'une température $\theta$ exprimée en degré Celsius en une température $T$ en Kelvin: $T(\mathrm{K}) = \theta(^\circ\mathrm{C}) + 273\ ^\circ\mathrm{C}$;

la poussée d'Archimède $\vec{\pi}_\mathrm{A}$ est une force, verticale et dirigée vers le haut, que subit tout objet plongé dans un fluide. Pour un objet de volume $V$ totalement immergé dans un fluide de masse volumique $\rho$, la valeur $\pi_\mathrm{A}$ de la poussée d'Archimède a pour expression: $$\pi_\mathrm{A} = \rho \cdot V \cdot g$$

caractéristiques de l'air extérieur au niveau du sol: masse volumique: $\rho_\mathrm{ext} = 1{,}2\ \mathrm{kg\cdot m^{-3}}$;

température: $\theta_\mathrm{ext} = 21\ ^\circ\mathrm{C}$;

pression atmosphérique: $p_\mathrm{atm} = 1{,}0 \times 10^5\ \mathrm{Pa}$;

la montgolfière étudiée est constituée d'une enveloppe de volume $V$ invariable égal à $2{,}5 \times 10^3\ \mathrm{m^3}$ et d'une nacelle de volume négligeable par rapport à celui de l'enveloppe;

la masse $m_\mathrm{ens}$ de l'ensemble comprenant la nacelle, l'enveloppe, le système de chauffage et les passagers est égale à $500\ \mathrm{kg}$.

2. Une enveloppe de montgolfière plus performante

Des entreprises spécialisées dans la conception des montgolfières ont développé une nouvelle gamme d'enveloppes. Contrairement aux enveloppes traditionnelles, constituées d'une simple couche de nylon, les nouveaux modèles d'enveloppes sont constitués d'une double couche de nylon. Entre les deux épaisseurs de nylon, une couche d'air permet de limiter le transfert thermique vers l'extérieur de l'enveloppe. La consommation de carburant est ainsi réduite.

Données:

Résistance thermique d'une enveloppe simple couche: $R_{\text{th},1} = 3{,}0 \times 10^{-4}\text{ K}\cdot\text{W}^{-1}$

Flux thermique $\Phi_1$ à travers l'enveloppe simple couche: $$\Phi_1 = \frac{\theta_{\text{int}} - \theta_{\text{ext}}}{R_{\text{th},1}}$$

Températures: $\theta_{\text{ext}} = 21\text{ }^\circ\text{C}$ (air extérieur) et $\theta_{\text{int}} = 106\text{ }^\circ\text{C}$ (air intérieur)

Q8.

Préciser, en justifiant, le sens du flux thermique à travers l'enveloppe simple couche du ballon.

Q9.

Calculer la valeur du flux thermique $\Phi_1$ à travers une enveloppe simple couche.

Q10.

Le flux thermique $\Phi_2$ à travers l'enveloppe à double paroi est $\Phi_2 = 165\text{ kW}$. Commenter.

3. Une gourde en aluminium à bord de la montgolfière

Le pilote de la montgolfière emporte avec lui une gourde en aluminium contenant une boisson chaude. On étudie en laboratoire l'évolution temporelle de la température du système {gourde + boisson} et on modélise le transfert thermique entre ce système et l'extérieur par la loi de Newton, rappelée dans les données ci-dessous.

La température du système à la date $t$ est notée $\theta(t)$. À la date $t = 0$ correspondant au début de l'expérience, la température du système est $\theta_0 = 48\text{ }^\circ\text{C}$.

Données:

Capacité thermique du système étudié: $C = 2{,}1 \times 10^3\text{ J}\cdot\text{K}^{-1}$

Surface totale de la gourde exposée à l'air: $S = 0{,}042\text{ m}^2$

Température de l'air extérieur (constante): $\theta_{\text{ext}} = 21\text{ }^\circ\text{C}$

Loi de Newton: flux thermique $\Phi$ reçu par le système: $$\Phi = h \cdot S \cdot (\theta_{\text{ext}} - \theta(t))$$ où $h$ est le coefficient d'échange thermique surfacique.

Q11.

On considère deux instants voisins $t$ et $t + \Delta t$, la durée $\Delta t$ est supposée faible devant une durée caractéristique d'évolution de la température du système. Montrer que la température du système vérifie la relation: $$\theta(t+\Delta t) - \theta(t) = \frac{h \cdot S \cdot (\theta_{\text{ext}} - \theta(t)) \cdot \Delta t}{C}$$

À partir du résultat précédent, on montre que la température $\theta(t)$ du système lors de son refroidissement vérifie l'équation différentielle suivante: $$\frac{\mathrm{d}\theta(t)}{\mathrm{d}t} + \frac{\theta(t)}{\tau} = \frac{\theta_{\text{ext}}}{\tau}$$ avec $\tau = \frac{C}{h \cdot S}$ le temps caractéristique du système. L'équation différentielle précédente admet des solutions générales de la forme $\theta(t) = A \cdot \text{e}^{-\frac{t}{\tau}} + B$.

Q12.

Déterminer les expressions littérales des constantes $A$ et $B$ en fonction de $\theta_0$ et $\theta_{\text{ext}}$ puis calculer leurs valeurs. Commenter.

Q13.

Déterminer la valeur du temps caractéristique $\tau$ à partir de la modélisation numérique de la figure 2.

Q14.

En déduire la valeur du coefficient $h$ d'échange thermique surfacique, puis commenter le résultat obtenu avec les valeurs données dans le tableau ci-dessous.

Conditions environnementales · Coefficient d'échange thermique surfacique entre l'air et une paroi solide en $\text{W}\cdot\text{K}^{-1}\cdot\text{m}^{-2}$

Sans courant d'air · de 5 à 10

Avec courant d'air · de 10 à 500

D'après le cours de P.-Y. Lagrée, Coefficient d'échange, Ailettes