Exercice 1 - Transferts thermiques · Bac Physique-Chimie Métropole 2 remplacement 2021

EXERCICE 1 commun à tous les candidats (10 points)

VOL D'UNE MONTGOLFIÈRE

Une montgolfière est un moyen de transport aérien constitué d'une nacelle pouvant contenir des passagers. Au-dessus de la nacelle, se trouvent:

une enveloppe en nylon appelée le ballon dont on considère le volume constant;

un brûleur permettant de réaliser la combustion de propane dans le dioxygène de l'air; ce propane est stocké dans des bonbonnes transportées dans la nacelle.

De nombreuses sorties sont proposées, d'une durée moyenne d'une heure. Une voiture est contrainte de suivre au sol la montgolfière pour récupérer les passagers et le matériel lors de l'atterrissage. En effet, le lieu d'atterrissage ne peut pas être connu de façon sûre au moment du départ: il est dépendant des conditions météorologiques.

Les objectifs de cet exercice sont:

de déterminer la masse totale qu'il est possible d'embarquer dans la montgolfière;

de trouver l'autonomie de vol maximale possible avec la montgolfière.

On étudie dans cet exercice une enveloppe en nylon de modèle « M-77 » de 0,1 mm d'épaisseur, de volume $V = 2\,200\ \mathrm{m}^3$, à laquelle on accroche une nacelle de modèle « C-1 », de masse $m_{nacelle} = 56\ \mathrm{kg}$. La nacelle est capable d'embarquer jusqu'à trois personnes ainsi que quatre bonbonnes pesant chacune 40 kg et contenant 20 kg de propane chacune.

D'après le site Internet https://escholarship.org/

Données:

intensité de la pesanteur terrestre: $g = 9{,}81\ \mathrm{m\cdot s^{-2}}$;

surface de l'enveloppe du ballon: $S = 847\ \mathrm{m}^2$;

masse par unité de surface de l'enveloppe en nylon: $\varphi_{nylon} = 65\ \mathrm{g\cdot m^{-2}}$;

constante du gaz parfait: $R = 8{,}314\ \mathrm{J\cdot mol^{-1}\cdot K^{-1}}$;

masse molaire de l'air: $M_{air} = 29{,}0\ \mathrm{g\cdot mol^{-1}}$.

1. Détermination de la masse totale qu'il est possible d'embarquer dans la montgolfière

Au cours d'un vol, la montgolfière se trouve à une altitude de 1,5 km. On considère que la pression $p$ à l'intérieur du ballon est égale à la pression à l'extérieur du ballon. La figure 1 présente l'évolution de la pression de l'air en fonction de l'altitude. L'air est considéré comme un gaz parfait.

Le brûleur n'est pas actionné au moment où on étudie le système.

Figure 1. Pression de l'air en fonction de l'altitude

On considère que la montgolfière est en vol, stabilisée à une altitude moyenne de 1,5 km. La température extérieure est $T_{ext} = 278$ K au cours d'un vol. On cherche à établir le bilan énergétique entre le système {air à l'intérieur de l'enveloppe + enveloppe} et le milieu extérieur.

2.1.

Nommer les trois modes de transferts thermiques. Caractériser qualitativement ces trois modes.

2.2.

La figure 3 présente les transferts thermiques qui ont lieu entre le système {ballon} et le milieu extérieur. On rappelle que le ballon représente l'enveloppe en nylon et l'air contenu à l'intérieur. En régime stationnaire, la montgolfière est en équilibre thermique.

À l'aide de la figure 3, établir une relation littérale entre les flux thermiques impliqués pour le système lorsque la montgolfière est à l'équilibre thermique.

Une partie du transfert thermique a lieu sous forme de rayonnement de l'enveloppe vers le milieu extérieur. Le calcul du flux thermique rayonné se fait grâce à la relation de Stefan-Boltzmann: $P_r = \varepsilon \cdot \sigma \cdot S \cdot T^4$ avec $\varepsilon = 0{,}87$ (coefficient d'émissivité), $\sigma = 5{,}67\times 10^{-8}$ W·m⁻²·K⁻⁴, $S$ la surface de l'enveloppe et $T$ la température de surface de l'enveloppe en K. De plus, le flux conducto-convectif se calcule par $\Phi = \dfrac{\Delta T}{R_{th}}$ avec $R_{th} = 3{,}5\times 10^{-4}$ K·W⁻¹. D'après l'étude, dans ces conditions, la température de l'enveloppe vaut $T = 325$ K.

2.3.

2.4.

2.5.

En déduire que la valeur du flux thermique $P_{comb}$ associé à la combustion du propane en régime de croisière est de l'ordre de $4\times 10^5$ W.

Le pilote actionne le brûleur pendant une durée $\tau$ selon le fonctionnement décrit sur la figure 4. Lorsque le brûleur est en fonctionnement, 68 grammes de propane sont brûlés chaque seconde.

2.6.

Montrer que le flux thermique associé à la combustion du propane lorsque le brûleur est en fonctionnement est de l'ordre de $3\times 10^6$ W. L'énergie de combustion massique du propane est $E_{comb} = 46{,}4$ MJ·kg⁻¹.

2.7.

Dans les conditions de l'étude, déterminer la durée maximale de vol qu'il est possible de réaliser à l'aide du propane embarqué dans la montgolfière.

Le candidat est invité à prendre des initiatives et à présenter la démarche suivie, même si elle n'a pas abouti. La démarche est évaluée et nécessite d'être correctement présentée.