Exercice commun - 3. Intérêt de la combinaison · Bac Physique-Chimie Métropole 2 remplacement 2022

3. Intérêt de la combinaison

Dans cette partie on étudie l'évolution au cours du temps de la température $T(t)$ du plongeur. La température du système {plongeur} est supposée homogène.

Données

Masse du plongeur

$m_p = 80$ kg

Température du plongeur avant la plongée

$37\ ^\circ C$

Capacité thermique massique moyenne du corps humain

$c_h = 3{,}5\times 10^{3}\ \mathrm{J\cdot kg^{-1}\cdot K^{-1}}$

Puissance fournie par le métabolisme

$P_m = 200$ W

Résistance thermique totale

$R_{eq} = 5{,}0\times 10^{-2}\ \mathrm{K\cdot W^{-1}}$

Température de l'eau de mer

$T_{eau} = 283$ K

Hypothermie légère

température intérieure $< 35\ ^\circ C$

On montre que l'expression du transfert thermique $Q$ reçu par le plongeur entre les instants $t$ et $t+\Delta t$ s'écrit à l'aide de deux termes ① et ②:

$$Q = \underbrace{P_m \times \Delta t}_{①} + \underbrace{\frac{T_{eau}-T(t)}{R_{eq}} \times \Delta t}_{②}$$

On suppose que $\Delta t$ est faible devant la durée caractéristique d'évolution de la température $T(t)$.

Q7.

Indiquer quels phénomènes correspondent aux transferts thermiques associés respectivement aux termes ① et ②.

Q8.

Pendant cette durée $\Delta t$, la température du plongeur varie de $\Delta T$. Exprimer la variation d'énergie interne $\Delta U$ du plongeur en fonction de $m_p$, $c_h$ et $\Delta T$.

Q9.

À l'aide du premier principe de la thermodynamique, déduire que l'équation différentielle régissant l'évolution de la température $T(t)$ du plongeur peut s'écrire sous la forme:

$$\tau \cdot \frac{dT(t)}{dt} + T(t) = T_f$$

avec $\tau = m_p \cdot c_h \cdot R_{eq}$ et $T_f = P_m \cdot R_{eq} + T_{eau}$. Montrer les étapes de la démonstration:

Q10.

Préciser la signification physique du terme $T_f$.

La résolution de cette équation différentielle a permis d'obtenir, dans le cadre de ce modèle, la représentation temporelle de la température $T$ en fonction du temps pour un plongeur avec combinaison en néoprène puis pour un plongeur sans combinaison (cf. figure 2).

Figure 2. Modélisation de l'évolution de la température du plongeur avec et sans combinaison

Q11.

Parmi les deux représentations de la figure 2, choisir, en justifiant la réponse, celle qui correspond à l'évolution de la température du plongeur avec sa combinaison et sans sa combinaison. Vérifier la cohérence de votre choix avec les expressions des grandeurs $T_f$ et $\tau$ données à la question 9.

Le plongeur prévoit une sortie d'une durée totale de 60 minutes.

Q12.

Déterminer la durée au bout de laquelle le plongeur muni de sa combinaison risquerait, dans le cadre de ce modèle, l'hypothermie. Commenter le résultat.