Exercice 3 - Transferts thermiques · Bac Physique-Chimie Métropole 2 remplacement 2025

Exercice 3 - Le réfrigérateur (6 points)

Élément indispensable des cuisines et des magasins, le réfrigérateur n'a cessé d'être perfectionné depuis le premier brevet déposé en 1835 par Jacob Perkins. Il nous permet d'avoir à portée de main un endroit frais.

Les objectifs de cet exercice sont:

d'étudier dans une première partie le refroidissement d'une bouteille d'eau placée dans un réfrigérateur « A » destiné à maintenir au frais des boissons à la température d'environ 7 °C;

d'étudier dans une seconde partie la difficulté d'ouverture d'une porte d'un réfrigérateur « B » dans deux situations différentes.

1. La température « idéale » d'une bouteille d'eau pour optimiser l'hydratation

Données:

le système étudié dans cette partie est une bouteille d'eau notée $S$;

volume du système $S$: $V_S = 1{,}5\text{ L}$;

masse volumique du système $S$: $\rho_S = 1{,}00\text{ kg}\cdot\text{L}^{-1}$;

capacité thermique massique du système $S$: $c_S = 4{,}18\cdot 10^3\text{ J}\cdot\text{K}^{-1}\cdot\text{kg}^{-1}$;

la température idéale de consommation de l'eau, afin d'optimiser la réhydratation du corps humain, est: $\theta_{\text{idéale}} = 16\text{ }^\circ\text{C}$;

la loi de Newton donne l'expression du flux thermique $\Phi$ (en W) reçu par le système $S$, à une température $\theta(t)$, de la part de l'air intérieur du réfrigérateur dont la température $\theta_{\text{réfri}}$ est considérée constante:

$$\Phi = \alpha \cdot (\theta_{\text{réfri}} - \theta(t))$$

où $\alpha = 0{,}50\text{ W}\cdot\text{K}^{-1}$ est une estimation du coefficient d'échange thermique entre le système $S$ et l'air intérieur du réfrigérateur.

À l'instant $t = 0$, on place le système $S$ dans le réfrigérateur « A », on ferme la porte de ce réfrigérateur puis on mesure la température $\theta(t)$ du système $S$ à intervalle de temps régulier pendant une demi-journée.

Q1.

Caractériser qualitativement le phénomène de convection, un des modes de transfert thermique ayant lieu entre $S$ et son environnement.

Q2.

Indiquer, en justifiant, le sens du transfert thermique $Q$ dans le cas étudié.

L'utilisation d'un tableur-grapheur permet d'obtenir:

le tracé de la courbe de température expérimentale à partir des mesures effectuées;

le tracé d'une courbe de modélisation de l'évolution temporelle de la température $\theta(t)$ du système $S$ à l'aide d'une fonction de la forme générale:

$$\theta(t) = A \cdot \mathrm{e}^{-\frac{t}{\tau}} + B \quad \text{où } A\text{, } B \text{ et } \tau \text{ sont des constantes.}$$

Ces deux courbes sont représentées sur la figure 1 de l'ANNEXE À RENDRE AVEC LA COPIE.

Q3.

Exprimer $\theta(t = 0)$ puis la limite de $\theta(t)$ quand $t \to +\infty$ en fonction des constantes $A$ et $B$. En déduire, en utilisant la figure 1 de l'ANNEXE À RENDRE AVEC LA COPIE, des valeurs des constantes $A$ et $B$ en précisant leur unité respective.

Q4.

Montrer graphiquement, en faisant apparaître la construction sur la figure 1 de l'ANNEXE À RENDRE AVEC LA COPIE, que la valeur de la constante $\tau$ est de l'ordre de $12\cdot 10^3\text{ s}$.

On cherche à déterminer par un modèle l'équation différentielle vérifiée par la fonction $\theta(t)$. Pour cela, on effectue un bilan d'énergie pour le système $S$, entre les instants $t$ et $t + \Delta t$.

Q5.

Appliquer le premier principe de la thermodynamique au système $S$ entre $t$ et $t + \Delta t$ pour exprimer la variation de température $\theta(t + \Delta t) - \theta(t)$ en fonction de $\Delta t$, $\rho_S$, $V_S$, $c_S$, $\alpha$ et $(\theta_{\text{réfri}} - \theta(t))$.

On en déduit que l'équation différentielle régissant l'évolution de la température $\theta(t)$ s'écrit:

$$\frac{\mathrm{d}\theta(t)}{\mathrm{d}t} + \frac{\theta(t)}{\tau} = \frac{\theta_{\text{réfri}}}{\tau} \quad \text{avec } \tau = \frac{\rho_S \cdot V_S \cdot c_S}{\alpha}.$$

La solution de cette équation différentielle a pour expression:

$$\theta(t) = (\theta_0 - \theta_{\text{réfri}})\cdot \mathrm{e}^{-\frac{t}{\tau}} + \theta_{\text{réfri}}$$

On donne pour l'expérience réalisée: $\theta_0 = 20{,}4\text{ }^\circ\text{C}$ et $\theta_{\text{réfri}} = 6{,}8\text{ }^\circ\text{C}$.

Q6.

Établir, selon cette modélisation, en fonction de $\tau$, $\theta_0$, $\theta_{\text{réfri}}$ et $\theta_{\text{idéale}}$, l'expression de la durée $t_{\text{idéale}}$ nécessaire pour que le système $S$ atteigne la température idéale de consommation d'une boisson.

Q7.

Calculer cette durée $t_{\text{idéale}}$, sachant que $\theta_{\text{idéale}} = 16\text{ }^\circ\text{C}$. Indiquer si cette durée est cohérente avec le graphique de l'ANNEXE À RENDRE AVEC LA COPIE. Une construction graphique est attendue.