Exercice 1 - Circuit RC · Bac Physique-Chimie Métropole 2026 (sujet 1)

Exercice 1 – Étude d'un lave-linge (11 points)

La maitrise de la durée des différentes étapes du cycle de lavage d'un lave-linge permet de garantir un nettoyage efficace tout en préservant les vêtements. Chaque phase - lavage, rinçage, essorage - est ainsi optimisée, en fonction du type de linge, en termes de consommation d'eau, d'énergie consommée et de durabilité de la machine.

L'objectif de cet exercice est d'étudier les premières phases du fonctionnement d'un lave-linge, le remplissage de la cuve et le chauffage de l'eau, lors de tests effectués en l'absence de linge.

1. Remplissage de la cuve

Le lave-linge peut être assimilé à un tambour tournant dans une cuve de forme cubique et de côté $a$. Pour réguler le niveau d'eau dans la cuve d'un lave-linge, un pressostat mesure la pression de l'air dans une chambre de compression cylindrique reliée au bas de la cuve: lorsque le niveau d'eau monte dans la cuve, une partie de cette eau entre dans la chambre de compression et l'air enfermé à l'intérieur est comprimé. Quand la pression atteint une valeur seuil, le pressostat envoie un signal et interrompt le remplissage.

Dans cette partie, on s'intéresse à un test de la machine: le pressostat est alors réglé pour permettre le remplissage de la moitié de la cuve.

Données

Volume d'un cylindre de rayon $R$ et de hauteur $H$: $V = π · R^2 · H$;

Intensité de la pesanteur: $g = 9{,}81\text{ N}\cdot\text{kg}^{-1}$;

Masse volumique de l'eau: $\rho_{\text{eau}} = 1{,}0 \times 10^3\text{ kg}\cdot\text{m}^{-3}$;

Paramètres associés au lave-linge étudié: la cuve est un cube de côté $a = 60{,}0\text{ cm}$ et de volume $V_c = a^3$;

la chambre de compression est assimilée à un cylindre de rayon $r = 3{,}0\text{ cm}$;

la pression de l'air dans la cuve reste constamment égale à la pression atmosphérique $P_0 = 1{,}01 \times 10^5\text{ Pa}$;

durant le remplissage, l'air et l'eau sont supposés à la même température $\theta_0 = 20\ ^\circ\text{C}$;

le débit volumique $D_v$ d'arrivée d'eau dans le lave-linge vaut $12 \times 10^{-3}\text{ m}^3\cdot\text{min}^{-1}$.

La quantité d'air présente dans la chambre de compression reste constante, ainsi que sa température. Avant le remplissage, l'air occupe un volume $V_0 = 0{,}50\text{ L}$ et la pression dans le pressostat est telle que $P = P_0$. Après le remplissage, la hauteur d'eau dans la chambre de compression est $h = 5{,}0\text{ mm}$ et la pression dans le pressostat est telle que $P = P_2$. On considère que l'air se comporte comme un gaz parfait.

2. Durée de temporisation

La minuterie d'un lave-linge utilise des circuits électroniques pour activer et désactiver les différentes fonctions du lave-linge. Il est nécessaire d'ajouter une durée de temporisation entre deux étapes d'un cycle pour laisser le temps à la machine de se stabiliser, éviter les chocs mécaniques et garantir que chaque phase démarre de bonnes conditions.

L'objectif de cette partie est d'étudier une modélisation simple d'un temporisateur de lave-linge à l'aide du montage de la figure 2.

Le montage est constitué:

d'un générateur de tension idéal de force électromotrice $E = 4{,}5\text{ V}$;

d'un conducteur ohmique de résistance $R$;

d'un condensateur de capacité $C$;

d'un interrupteur K ayant deux positions: position 1 pour la charge du condensateur et position 2 pour la décharge du condensateur;

d'un comparateur configuré pour envoyer un signal mettant fin à la temporisation à l'instant $t_{\text{seuil}}$ pour lequel la tension $u_R$ aux bornes de la résistance atteint un tiers de la tension d'alimentation:

$$u_R(t_{\text{seuil}}) = \frac{E}{3}$$

On admet que le comparateur ne perturbe pas le fonctionnement du circuit. Celui-ci peut donc être étudié comme si le comparateur était absent.

À l'instant initial ($t = 0$), le condensateur étant déchargé, on place l'interrupteur K en position 1.

Q8.

Montrer que l'équation différentielle donnant les variations de la tension $u_C(t)$ aux bornes du condensateur en fonction du temps est de la forme:

$$u_C(t) + R\cdot C\,\frac{\mathrm{d}u_C}{\mathrm{d}t}(t) = E$$

Les solutions de l'équation différentielle précédente sont des fonctions du temps de la forme $u_C(t) = A\,(1 - \mathrm{e}^{-t/\tau})$, avec $\tau = R\cdot C$.

Q9.

Déterminer l'expression de la constante $A$ dans la situation étudiée.

Q10.

En déduire que l'expression de la tension aux bornes du conducteur ohmique au cours du temps est $u_R(t) = E\cdot \mathrm{e}^{-t/\tau}$.

Q11.

Montrer que la date de fin de temporisation $t_{\text{seuil}}$, date à laquelle le comparateur envoie un signal, s'exprime comme $t_{\text{seuil}} = \tau\cdot \ln 3$.

La durée de temporisation, notée $\Delta t_2$, est définie par $\Delta t_2 = t_{\text{seuil}}$. Pour étudier expérimentalement cette durée de temporisation, on réalise au laboratoire le circuit précédent en remplaçant le comparateur par un système d'acquisition. On souhaite obtenir une durée de temporisation $\Delta t_2$ voisine de $30\text{ s}$. On utilise un condensateur de capacité $C = 4{,}70\text{ mF}$ alimenté par un générateur de tension $E = 4{,}5\text{ V}$. On dispose par ailleurs de plusieurs conducteurs ohmiques de résistances $R_1 = 470\ \Omega$, $R_2 = 5{,}0\text{ k}\Omega$ et $R_3 = 100\text{ k}\Omega$.

Q12.

Parmi les valeurs proposées, déterminer la valeur de la résistance du conducteur ohmique à utiliser pour obtenir une durée de temporisation voisine de celle souhaitée.

On réalise le circuit électrique avec la valeur de la résistance trouvée à la question Q12. On charge le condensateur et on bascule l'interrupteur en position 2, puis on suit l'évolution de la tension aux bornes de la résistance lors de la décharge. Le graphique correspondant est présenté sur la figure 3.

Q13.

Déterminer graphiquement la valeur initiale $u_R(t = 0)$ de la tension aux bornes du conducteur ohmique après avoir basculé l'interrupteur en position 2 et vérifier qu'elle est en accord avec la valeur de $u_R(t = 0)$ obtenue en appliquant la loi des mailles.

Q14.

Déterminer, à l'aide du graphique de la figure 3, la valeur expérimentale $\tau_{\text{exp}}$ de la constante de temps du circuit RC. Commenter.