Exercice 1 - Condensateur et circuit RC · Bac Physique-Chimie Métropole 2025 (sujet 2)

Exercice 1 - Mesure de l'épaisseur d'un film alimentaire (11 points)

Les films alimentaires étirables sont des films plastiques souples et transparents utilisés principalement pour conserver les aliments. Ils sont fabriqués en polymères tels que le polyéthylène basse densité (PEBD) et parfois le polychlorure de vinyle (PVC). Ces films offrent une barrière contre l'air, l'humidité et les contaminants, aidant ainsi à prolonger la fraîcheur des aliments et à réduire les déchets alimentaires. L'épaisseur du film est un paramètre essentiel des propriétés mécaniques (élasticité, résistance à la traction) des films étirables, ainsi que de leur impact écologique.

L'objectif de cet exercice est d'étudier différentes méthodes de détermination de l'épaisseur d'un film alimentaire.

1. Mesure de l'épaisseur d'un film alimentaire par capacimétrie

Données:

Un condensateur plan est constitué de deux armatures métalliques, parallèles entre elles, chacune de surface $S$, séparées par un matériau isolant (papier, plastique) d'épaisseur $e$;

Expression littérale de la capacité $C$ d'un tel condensateur:$$C = \frac{\varepsilon_0 \cdot \varepsilon_r \cdot S}{e}$$avec: $\varepsilon_0 = 8{,}85 \times 10^{-12}\text{ F}\cdot\text{m}^{-1}$: permittivité du vide;

$\varepsilon_r$: permittivité relative du matériau isolant;

Permittivité relative du film alimentaire étudié: $\varepsilon_{r\text{, film}} = 2{,}3$;

Permittivité relative de l'air: $\varepsilon_{r\text{, air}} = 1{,}0$;

Épaisseur de référence du film alimentaire: $e_{\text{film, ref}} = 7{,}6\ \mu\text{m}$;

Pour discuter de l'accord du résultat d'une mesure avec une valeur de référence, on peut utiliser le quotient $\frac{|x - x_{\text{ref}}|}{u(x)}$ avec $x$ la valeur mesurée, $x_{\text{ref}}$ la valeur de référence et $u(x)$ l'incertitude-type associée à la valeur mesurée $x$.

On réalise un condensateur plan en intercalant entre deux feuilles de papier aluminium rectangulaires, de dimensions $21\text{ cm} \times 28\text{ cm}$, une seule couche du film transparent d'épaisseur $e$. On note $C$ sa capacité. La figure 1 ci-dessous présente un schéma de ce dispositif.

On réalise ensuite le montage, schématisé en figure 2, constitué du condensateur réalisé, d'un conducteur ohmique de résistance $R = 1{,}00\text{ k}\Omega$, d'un interrupteur et d'un générateur idéal délivrant une tension continue $E = 4{,}9\text{ V}$.

On étudie la charge du condensateur à partir de la date $t = 0$, date à laquelle l'interrupteur est fermé. L'évolution temporelle de la tension $u_C$ aux bornes du condensateur est présentée ci-dessous:

Q1.

Établir l'équation différentielle vérifiée par la tension $u_C$ aux bornes du condensateur, où $\tau$ est le temps caractéristique dont on donnera l'expression: $$\frac{\mathrm{d}u_C}{\mathrm{d}t} + \frac{1}{\tau}u_C = \frac{E}{\tau}$$

Q2.

La solution de cette équation différentielle est: $u_C(t) = A\cdot(1 - \mathrm{e}^{-\frac{t}{\tau}})$ où $A$ est une constante. Déterminer l'expression de la constante $A$.

Q3.

Exprimer, en fonction de $E$, la tension $u_C(\tau)$ aux bornes du condensateur à la date $t = \tau$.

Q4.

Exploiter la courbe de la figure 3 et le résultat obtenu à la question Q3 pour déterminer la valeur de la constante de temps $\tau$ du circuit. Expliciter la démarche utilisée.

Q5.

En déduire une valeur expérimentale de la capacité $C$ du condensateur.

Des mesures complémentaires répétées ont permis de déterminer une valeur moyenne de la capacité du condensateur: $C = 69{,}8\ \mathrm{nF}$.

Q6.

Déterminer la valeur de l'épaisseur $e_{\mathrm{film}}$ du film alimentaire déduite de cette valeur moyenne.

Avec cette méthode, l'incertitude-type sur l'épaisseur du film a pour valeur: $u(e_{\mathrm{film}}) = 1{,}0\ \mu\mathrm{m}$.

Q7.

Discuter de l'accord du résultat obtenu à la question Q6 avec la valeur de l'épaisseur de référence du film indiquée dans les données.

Pour expliquer l'écart observé, on peut faire l'hypothèse qu'il existe entre les feuilles d'aluminium, en plus de l'épaisseur du film alimentaire, une fine couche d'air d'épaisseur $e_{\mathrm{air}}$ constante. La situation est alors schématisée sur la figure 4 ci-dessous.

On montre que la capacité $C'$ d'un condensateur, dans le cas où le condensateur comprend une épaisseur d'air $e_{\mathrm{air}}$ et une épaisseur de film $e_{\mathrm{film}}$, est donnée par la relation: $$C' = \frac{\varepsilon_0 \cdot S}{\frac{e_{\mathrm{air}}}{\varepsilon_{\mathrm{r, air}}} + \frac{e_{\mathrm{film}}}{\varepsilon_{\mathrm{r, film}}}}$$

Q8.

En envisageant deux cas limites au schéma présenté en figure 4, vérifier que l'expression donnée ci-dessus est compatible avec l'expression littérale de la capacité d'un condensateur précisée dans les données.

Q9.

Dans ce modèle, déterminer la valeur d'épaisseur d'air $e_{\mathrm{air}}$ en considérant que l'épaisseur du film alimentaire est celle de référence: $e_{\mathrm{film, ref}} = 7{,}6\ \mu\mathrm{m}$. Commenter.