Exercice B - Mesure capacitive de l'épaisseur · Bac Physique-Chimie Métropole Candidat libre 2021 (sujet 2)

EXERCICE B - MESURES D'ÉPAISSEUR

Mots-clés: lentilles convergentes; condensateur

Dans l'industrie, le contrôle qualité de l'épaisseur de matériau fabriqué est important pour respecter le cahier des charges. Plusieurs principes physiques sont utilisés pour déterminer l'épaisseur d'une plaque de métal, de verre, de films plastiques, etc.

Une pochette plastique est constituée de deux films plastiques entre lesquels des documents papier peuvent être rangés. Selon les fabricants, l'épaisseur e du film plastique utilisé varie de 50 μm à 120 μm.

L'objectif de cet exercice est d'étudier deux méthodes pour déterminer l'épaisseur d'un film plastique utilisé dans la fabrication d'une pochette plastique lisse incolore.

Données

expression de la capacité $C$ d'un condensateur constitué de deux armatures métalliques de surface $S$, exprimée en m², séparées par une pochette plastique d'épaisseur $2e$, exprimée en m: $$C = 1{,}95\times 10^{-11} \times \frac{S}{2e}$$

indice de réfraction du film plastique: $n = 1{,}49$

1. Mesure optique de l'épaisseur du film plastique

On utilise d'abord un microscope représenté en figure 1 et dont une modélisation optique est donnée en figure 2.

Figure 1. Photographie d'un microscope

Figure 2. Modélisation d'un microscope

2. Mesure capacitive de l'épaisseur du film plastique

Pour faire une deuxième mesure de l'épaisseur du film plastique, on réalise un condensateur à l'aide de deux feuilles d'aluminium identiques de dimensions $20\text{ cm} \times 20\text{ cm}$ entre lesquelles la pochette plastique est intercalée. Le tout est maintenu serré. Ce condensateur est utilisé dans un montage électrique dont le schéma est donné en figure 5.

Ce montage électrique est constitué d'un générateur, considéré comme une source de tension idéale qui fournit une tension $E$, d'un conducteur ohmique de résistance variable $R$ et du condensateur réalisé de capacité $C$.

Un système d'acquisition, non représenté sur la figure 5, permet d'enregistrer l'évolution de la tension $u_C$ aux bornes du condensateur au cours du temps. À la date $t = 0$, on ferme l'interrupteur. Le condensateur est initialement déchargé.

2.1.

Établir l'équation différentielle vérifiée par la tension aux bornes du condensateur pour $t \geq 0$.

2.2.

La solution générale de l'équation différentielle est $u_C(t) = A\cdot \text{e}^{-\frac{t}{\tau}} + B$. Déterminer l'expression des constantes $A$, $B$ et $\tau$ en fonction de $E$, $R$ et $C$.

2.3.

Déterminer la valeur de la constante $B$ et la valeur du temps caractéristique $\tau$ à l'aide de la figure 6 en expliquant la démarche suivie.

2.4.

Déterminer la valeur de la capacité $C$ du condensateur réalisé.

2.5.

En déduire la valeur de l'épaisseur du film plastique utilisé pour fabriquer la pochette. Commenter le résultat.