Exercice 1 - 1. Capteur capacitif et circuit RC · Bac Physique-Chimie Métropole 1 remplacement 2025

Exercice 1 - La physique au service du vigneron (11 points)

La vinification est le processus de transformation du jus de raisin en vin par fermentation. Lors des premières étapes de vinification, on fait éclater les grains de raisin et le jus extrait est placé dans une cuve de stockage. Commence alors la fermentation alcoolique, étape pendant laquelle une partie du sucre se transforme en alcool. Au cours de ce processus, le vigneron doit contrôler la température et la masse volumique du jus.

L'objectif de cet exercice est d'étudier comment la physique peut être utile au vigneron pour mesurer le niveau de remplissage de la cuve de stockage, contrôler la température du jus de raisin et en déterminer le taux de sucre au cours de la fermentation.

1. Étude du principe du capteur de niveau

La cuve de stockage est équipée d'un capteur de niveau de type capacitif permettant de contrôler la hauteur h de liquide dans la cuve (figure 1).

Ce capteur est constitué d'une tige conductrice recouverte d'une très fine couche d'isolant. Lorsque celle-ci trempe dans un liquide conducteur, comme le jus de raisin, elle constitue une des armatures d'un condensateur et le liquide en constitue l'autre. On considère pour simplifier que l'ensemble se comporte comme un condensateur plan (figure 2).

On souhaite étudier en laboratoire le principe de ce capteur et l'influence de la hauteur de liquide sur le comportement d'un tel condensateur en réalisant le montage représenté sur la figure 3:

une feuille d'aluminium rectangulaire de largeur $\ell$ = 41 cm constitue l'armature 1 du condensateur;

une feuille plastifiée d'épaisseur $e$ = 80 µm de polyester joue le rôle d'isolant;

la plaque, formée par la feuille d'aluminium et la feuille plastifiée, est plongée dans un récipient et en touche le fond. Elle est en contact sur une hauteur h avec un liquide conducteur qui joue le rôle de l'armature 2 du condensateur;

un fil dénudé permet d'établir un contact électrique avec le liquide.

Données

la surface $S_C$ de chaque armature du dispositif expérimental s'exprime par la relation: $S_C = h \cdot \ell$;

la capacité $C$ du condensateur plan de ce dispositif s'exprime par la relation: $$C = \frac{\varepsilon \cdot S_C}{e}$$ avec $C$ en farad (F), $S_C$ en m², $e$ en m et $\varepsilon$, grandeur caractéristique de l'isolant appelée permittivité, exprimée en F·m⁻¹.

1. Étude du principe du capteur de niveau

La cuve de stockage est équipée d'un capteur de niveau de type capacitif permettant de contrôler la hauteur de liquide (figure 1).

Ce capteur est constitué d'une tige conductrice recouverte d'une très fine couche d'isolant. Lorsque celle-ci trempe dans un liquide conducteur, comme le jus de raisin, elle constitue une des armatures d'un condensateur et le liquide en constitue l'autre. On considère pour simplifier que l'ensemble se comporte comme un condensateur plan (figure 2).

On souhaite étudier en laboratoire le principe de ce capteur et l'influence de la hauteur de liquide sur le comportement d'un tel condensateur en réalisant le montage représenté sur la figure 3:

une feuille d'aluminium rectangulaire de largeur $\ell = 41$ cm constitue l'armature 1 du condensateur;

une feuille plastifiée d'épaisseur $e = 80\ \mu m$ de polyester joue le rôle d'isolant;

la plaque, formée par la feuille d'aluminium et la feuille plastifiée, est plongée dans un récipient et en touche le fond. Elle est en contact sur une hauteur $h$ avec un liquide conducteur qui joue le rôle de l'armature 2 du condensateur;

un fil dénudé permet d'établir un contact électrique avec le liquide.

Données

La surface $S_C$ de chaque armature du dispositif expérimental s'exprime par la relation: $S_C = h \cdot \ell$

La capacité $C$ du condensateur plan de ce dispositif s'exprime par la relation: $C = \dfrac{\varepsilon \cdot S_C}{e}$ avec $C$ en farad (F), $S_C$ en $m^2$, $e$ en m et $\varepsilon$, grandeur caractéristique de l'isolant appelée permittivité, exprimée en $F \cdot m^{-1}$.

Q1.

Expliquer pourquoi ce capteur ne peut pas être utilisé dans un liquide isolant.

Q2.

Préciser si la capacité $C$ du condensateur augmente ou diminue lorsque la hauteur $h$ de liquide dans lequel l'ensemble est plongé augmente.

Pour mesurer la valeur de la capacité du condensateur, on réalise le circuit électrique représenté à la figure 4. Il comporte:

un générateur idéal de tension $E = 5{,}0$ V;

un conducteur ohmique de résistance $R = 6{,}0 \times 10^6\ \Omega$;

le dispositif expérimental de la figure 3 jouant le rôle d'un condensateur de capacité $C$;

un interrupteur à deux positions.

L'interrupteur est préalablement placé en position 1 afin de décharger le condensateur. À l'instant $t = 0$, le condensateur est déchargé et l'interrupteur est basculé en position 2.

Q3.

Montrer que, lors de sa charge, la tension $u_C(t)$ aux bornes du condensateur obéit à l'équation différentielle suivante:

$$\dfrac{du_C}{dt} + \dfrac{u_C}{R \cdot C} = \dfrac{E}{R \cdot C}$$

Q4.

La tension d'expression $u_C(t) = A \cdot e^{-t/\tau} + B$ est solution de cette équation différentielle. Déterminer, en fonction des paramètres $E$, $R$ et $C$, les expressions des constantes $A$, $B$ et $\tau$ adaptées aux conditions de l'expérience.

On réalise une première expérience de charge du condensateur pour une hauteur $h_{test}$ de liquide. La figure 5 représente l'évolution temporelle de la tension $u_C(t)$ aux bornes de ce condensateur.

L'expérience est reproduite pour différentes hauteurs $h$ de liquide. La représentation graphique de la variation de la capacité du condensateur en fonction de la hauteur de liquide est donnée en figure 6. Une droite de modélisation y a été tracée.

Q5.

À l'aide des figures 5 et 6, déterminer la hauteur $h_{test}$ de liquide utilisée dans la première expérience.

Le candidat est invité à prendre des initiatives et à présenter la démarche suivie, même si elle n'a pas abouti. La démarche est évaluée et nécessite d'être correctement présentée.