Exercice 1 - Partie 3 : Structure de la plume d'o… · Bac Physique-Chimie Métropole 1 remplacement 2023

EXERCICE 1 - OBSERVATION ORNITHOLOGIQUE D'UNE OIE CENDRÉE (11 points)

Certains parcs ornithologiques proposent des sorties mêlant observations des oiseaux, suivies d'analyse d'échantillons récoltés comme par exemple des plumes.

Cet exercice s'intéresse dans un premier temps à l'observation d'une oie cendrée à l'œil nu et à l'aide d'une longue-vue. Puis, dans un second temps, le phénomène d'interférences lumineuses est utilisé pour déterminer des dimensions caractéristiques de la structure d'une plume d'oie.

Données:

taille approximative d'une oie cendrée: 80 cm;

taille approximative du bec d'une oie cendrée: 7 cm;

distance focale de l'objectif $L_1$ de la longue-vue: $f_1' = 450$ mm;

distance focale de l'oculaire $L_2$ de la longue-vue: $f_2' = 30$ mm;

relation de conjugaison pour une lentille L de centre optique O: $$\frac{1}{\overline{OA'}} - \frac{1}{\overline{OA}} = \frac{1}{f'}$$ où $\overline{OA'}$ est la distance algébrique entre le centre optique de la lentille L et le point A', $\overline{OA}$ est la distance algébrique entre le centre optique de la lentille L et le point A et $f'$ est la distance focale de la lentille;

grandissement transversal $$\gamma = \frac{\overline{OA'}}{\overline{OA}} = \frac{\overline{A'B'}}{\overline{AB}}$$ où $\overline{A'B'}$ est la taille algébrique de l'image A'B' et $\overline{AB}$ est celle de l'objet AB;

approximation dans le cas de petits angles ($\theta \ll 1$ rad): $\sin\theta = \theta$; $\tan\theta = \theta$.

1. Observation d'une oie cendrée à l'œil nu

L'œil est un système complexe que l'on peut modéliser par l'association:

d'une lentille mince convergente L, d'axe optique $\Delta$, de distance focale $f' = \overline{OF'} = 17$ mm, de centre optique O;

d'un écran situé à une distance $D = 17$ mm du centre optique O.

Figure 1. Schéma simplifié du modèle de l'œil

La rétine est une membrane qui tapisse le fond de l'œil et qui joue le rôle d'écran. L'oie cendrée est modélisée par un objet de hauteur AB perpendiculaire à l'axe optique en A et situé à 280 m du centre optique O. L'image de AB à travers la lentille L est notée A'B'.

La rétine est assimilée à un disque de rayon égal à 6 mm centré en F'.

Le pouvoir séparateur de l'œil humain est l'angle limite, noté $\alpha_m$, sous lequel un objet peut être vu distinctement par l'œil (voir figure 2); sa valeur est de $3\times 10^{-4}$ rad.

Figure 2. L'objet AB est vu sous un angle α par l'œil. Il peut être distinctement vu par l'œil si $\alpha > \alpha_m$

3. Structure de la plume d'oie cendrée

Pour identifier l'espèce d'un oiseau, la plume est une des parties du corps de l'animal qu'il est possible d'étudier. Les plumes d'oiseaux possèdent des structures géométriques périodiques à des échelles différentes, qu'il est possible d'étudier par des méthodes interférométriques.

L'expérience des fentes d'Young permet d'obtenir sur un écran une figure d'interférences constituée d'une succession de franges brillantes et sombres qui se répartissent sur un axe de direction parallèle à la droite joignant les deux fentes. La figure 4 donne une schématisation d'une expérience des fentes d'Young, de centres $F_1$ et $F_2$, ainsi qu'une photographie de la figure d'interférences obtenue.

Un faisceau lumineux issu d'un laser de longueur d'onde $\lambda$, éclaire un objet plan totalement opaque en dehors de deux fentes, séparées d'une distance notée $b$. Cet objet est appelé objet « fentes d'Young ». Le faisceau est constitué d'un ensemble de rayons parallèles, et se propage parallèlement à l'axe optique $(OO')$, le point $O$ étant à égale distance des points $F_1$ et $F_2$. Les ondes issues des fentes interfèrent sur l'écran. En un point M de celui-ci, on admet que la différence de chemin optique entre les deux ondes s'écrit $\delta = F_2M - F_1M$ (voir figure 4). L'écran est situé à une distance $D$ des fentes très grande devant la distance $b$ ($D \gg b$).

Q9.

Préciser la condition que doit vérifier la différence de chemin optique $\delta$ pour que les ondes issues des fentes interfèrent de manière constructive au point M. Indiquer en justifiant si dans ce cas la frange au point O' est brillante ou sombre.

Sur la figure 5, le point H représente le projeté orthogonal de $F_1$ sur le segment $[F_2M]$. On admet que la différence de chemin optique $\delta$ est égale à la longueur du segment $[F_2H]$.

Q10.

Montrer que, dans les conditions de l'expérience ($\theta \ll 1$ rad), il est possible d'exprimer la différence de chemin optique par la relation suivante: $$\delta = b\cdot\theta$$

On montre, avec une très bonne approximation, que l'angle $\theta$ est égal à l'angle $\widehat{O'OM}$ dans le triangle rectangle $O'OM$ représenté sur la figure 6. L'abscisse du point M sur l'axe $O'x$ est notée $x$.

Q11.

Après avoir exprimé l'angle $\theta$ en fonction de $D$ et $x$, montrer que la différence de chemin optique $\delta$ a pour expression: $$\delta = \frac{b\cdot x}{D}$$

Q12.

En déduire l'expression des abscisses $x_k$ des franges brillantes, en fonction de $\lambda$, $D$, $b$ et d'un entier relatif $k$.

Q13.

Montrer que l'interfrange $i$ est donnée par l'expression littérale suivante: $$i = \frac{\lambda\cdot D}{b}$$

La figure 7 montre qu'une plume d'oie est composée d'un ensemble de barbes (tiges) fixées sur le rachis (axe principal de la plume d'oie). Les barbes supportent des éléments plus petits et fins, invisibles à l'œil nu, appelés barbules. Les barbes sont régulièrement espacées d'une distance notée $b_{barbe}$, les barbules sont également régulièrement espacées d'une distance notée $b_{barbule}$ (voir figure 7) et sont dans une direction pratiquement perpendiculaire à celle des barbes. Les barbules sont plus resserrées que les barbes, on a donc $b_{barbule} < b_{barbe}$.

On réalise la même expérience que celle décrite dans la figure 4 en remplaçant l'objet « fentes d'Young » par une plume d'oie, éclairée avec un laser dont la longueur d'onde est $\lambda = 650$ nm. L'écran est placé à une distance $D = 74$ cm de la plume. On obtient alors une figure d'interférences dont la photographie (en négatif) est donnée sur la figure A2 de l'annexe.

L'écran est rapporté à un repère d'origine O' et d'axes O'x et O'y orthogonaux. Dans un modèle très simplifié, il est possible de montrer que les interférences sont constructives uniquement en des points de coordonnées $(x_k, y_\ell)$, vérifiant les relations $$x_k = k\cdot\frac{\lambda\cdot D}{b_{barbe}} \quad \text{et} \quad y_\ell = \ell\cdot\frac{\lambda\cdot D}{b_{barbule}}$$ où $k$ et $\ell$ sont des entiers relatifs. Le modèle prévoit que seulement certains de ces points sont lumineux du fait de détails de la géométrie des plumes auxquels on ne s'intéresse pas ici.

Q14.

Montrer que le modèle simplifié permet d'expliquer certaines caractéristiques de la figure d'interférences observée sur la figure A2 de l'annexe. Dans les cases vides de cette figure, identifier, en justifiant, l'axe O'x puis l'axe O'y.

Q15.

En exploitant la figure A2 de l'annexe, évaluer les valeurs des interfranges $i_1$ et $i_2$ puis en déduire les valeurs des espacements $b_{barbule}$ et $b_{barbe}$.