Exercice 1 - Partie C · Bac Mathématiques Métropole 1 remplacement 2026

Exercice 1 (5 points)

Dans cet exercice, les résultats seront arrondis à $10^{-3}$ près.

Les parties A, B et C sont indépendantes les unes des autres et peuvent donc être traitées séparément.

Partie C

Deux zones géographiques sont desservies sans que les livraisons dans l'une n'aient d'incidence sur celles dans l'autre:

en zone A, les délais de livraison sont respectés dans $85\,\%$ des cas;

en zone B, les délais de livraison sont respectés dans $90\,\%$ des cas.

L'entreprise observe $120$ livraisons effectuées en zone A et $80$ livraisons effectuées en zone B.

On note:

$X_A$ la variable aléatoire comptabilisant le nombre de colis livrés respectant les délais de livraison en zone A;

$X_B$ la variable aléatoire comptabilisant le nombre de colis livrés respectant les délais de livraison en zone B;

$S = X_A + X_B$ la variable aléatoire donnant le nombre total de colis livrés respectant les délais de livraison.

On admet que $X_A$ suit une loi binomiale $\mathcal{B}(120\,;\,0{,}85)$ et que $X_B$ suit une loi binomiale $\mathcal{B}(80\,;\,0{,}90)$.

1.

Calculer l'espérance et la variance des variables $X_A$ et $X_B$.

2.

Calculer $E(S)$.

3.

Quelle condition permet d'affirmer que $V(S) = 22{,}5$ ?

4.

À l'aide d'une inégalité de Bienaymé-Tchebychev, minorer $P(S \in [165\,;\,183])$ et interpréter le résultat.