Exercice 2 - Variable aléatoire et espérance · Bac Mathématiques Métropole 1 remplacement 2022

Un hôtel situé à proximité d'un site touristique dédié à la préhistoire propose deux visites dans les environs, celle d'un musée et celle d'une grotte.

Une étude a montré que 70% des clients de l'hôtel visitent le musée. De plus, parmi les clients visitant le musée, 60% visitent la grotte.

Cette étude montre aussi que 6% des clients de l'hôtel ne font aucune visite.

On interroge au hasard un client de l'hôtel et on note:

$M$ l'événement: « le client visite le musée »;

$G$ l'événement: « le client visite la grotte ».

On note $\overline{M}$ l'événement contraire de $M$, $\overline{G}$ l'événement contraire de $G$, et pour tout événement $E$, on note $p(E)$ la probabilité de $E$.

Ainsi, d'après l'énoncé, on a: $p(\overline{M} \cap \overline{G}) = 0{,}06$.

Les tarifs pour les visites sont les suivants:

visite du musée: 12 euros;

visite de la grotte: 5 euros.

On considère la variable aléatoire $T$ qui modélise la somme dépensée par un client de l'hôtel pour ces visites.

3. a)

Donner la loi de probabilité de $T$. On complétera le tableau ci-dessous en ordonnant les valeurs de $t_i$ dans l'ordre croissant.

$t_i$

$P(T = t_i)$

3. b)

Calculer l'espérance mathématique de $T$.

3. c)

Pour des questions de rentabilité, le responsable de l'hôtel estime que le montant moyen des recettes des visites doit être supérieur à 700 euros par jour. Déterminer le nombre moyen de clients par journée permettant d'atteindre cet objectif.

4.

Pour augmenter les recettes, le responsable souhaite que l'espérance de la variable aléatoire modélisant la somme dépensée par un client de l'hôtel pour ces visites passe à 15 euros, sans modifier le prix de visite du musée qui demeure à 12 euros. Quel prix faut-il fixer pour la visite de la grotte afin d'atteindre cet objectif ? (On admettra que l'augmentation du prix d'entrée de la grotte ne modifie pas la fréquentation des deux sites).