Exercice 3 · Bac Mathématiques Centres étrangers (Afrique) 2026 (jour 2)

Thème : Suites : récurrence, convergence et limites · Tiré du sujet Jour 2 (2026)

Énoncé

Exercice 3 (6 points)

Partie A

On note $f$ la fonction définie sur l'intervalle $[2; +\infty[$ par $f(x) = \ln(3x^2 + 2x)$ .

On admet que la fonction $f$ est dérivable sur l'intervalle $[2; +\infty[$ et on note $f'$ sa fonction dérivée.

Démontrer que la fonction $f$ est strictement croissante sur l'intervalle $[2; +\infty[$ .

2. On note $g$ la fonction définie sur l'intervalle $[2; +\infty[$ par $g(x) = f(x) - x$ .

On admet que la fonction $g$ est strictement décroissante sur l'intervalle $[2; +\infty[$ et que $\lim_{x \to +\infty} g(x) = -\infty$ .

Démontrer que l'équation $g(x) = 0$ admet une unique solution $\alpha$ sur l'intervalle $[2; +\infty[$ .

En déduire le tableau de signes de la fonction $g$ sur l'intervalle $[2; +\infty[$ . Remplir les signes de $g(x)$ sur $[2; \alpha[$ et $]\alpha; +\infty[$ :

$x$

$2$

$\alpha$

$+\infty$

$g(x)$

$0$

Partie B

Dans cette partie, les réponses pourront s'appuyer sur les résultats de la partie A.

On définit une suite $(a_n)$ par son premier terme $a_0 > 0$ et pour tout entier naturel $n$ ,

$a_{n+1} = \ln(3a_n^2 + 2a_n)$

On étudie le cas où $2 \le a_0 \le \alpha$ , où $\alpha$ est l'unique solution de l'équation $g(x) = 0$ .

Démontrer que, pour tout entier naturel $n$ , on a $2 \le a_n \le \alpha$ .

Démontrer que la suite $(a_n)$ est croissante.

Démontrer que la suite $(a_n)$ converge.

Démontrer que la limite de la suite $(a_n)$ est $\alpha$ .

Partie C

Dans cette partie, on prend $a_0 = 2$ . La suite $(a_n)$ est ainsi définie par $a_0 = 2$ et pour tout entier naturel $n$ , $a_{n+1} = \ln(3a_n^2 + 2a_n)$ .

On note $(b_n)$ la suite définie par $b_0 = 10$ et pour tout entier naturel $n$ , $b_{n+1} = \ln(3b_n^2 + 2b_n)$ .

On admet que la suite $(b_n)$ est strictement décroissante et qu'elle converge vers $\alpha$ .

Justifier que, pour tout entier naturel $n$ , on a $a_n \le b_n$ .

2. On considère le script ci-dessous écrit en langage Python.

from math import *

def algo(p):

a = 2

b = 10

n = 0

while b - a > 10**(-p):

a = log(3*a**2 + 2*a)

b = log(3*b**2 + 2*b)

n = n + 1

return (n,a)

On rappelle qu'en langage Python:

la commande log(c) renvoie la valeur de $\ln(c)$ ;

la commande a**2 renvoie la valeur de $a^2$ .

Donner les valeurs renvoyées par l'instruction algo(2) (on arrondira si besoin les valeurs au millième):

$n =$

$a \approx$

Interpréter les valeurs renvoyées dans le contexte de l'exercice.

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Corrigé

Corrigé établi d’après les éléments de correction officiels

1. Démontrer que la fonction f est strictement croissante sur l'intervalle [2 ; +∞[.

Réponse : Pour tout $x \ge 2$ , $f'(x) = \frac{6x+2}{3x^2+2x} > 0$ , donc $f$ est strictement croissante sur $[2 ; +\infty[$ .

2. a. Démontrer que l'équation g(x) = 0 admet une unique solution α sur l'intervalle [2 ; +∞[.

Réponse : $g$ est continue et strictement décroissante sur $[2 ; +\infty[$ , avec $g(2) = \ln(16) - 2 > 0$ et $\lim_{x\to +\infty} g(x) = -\infty$ . D'après le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires, $g(x) = 0$ admet une unique solution $\alpha$ .

2. b. Donner la valeur de α arrondie au centième.

Réponse : $4{,}05$

2. c. Signe de g(x) sur [2 ; α[

Réponse : +

2. c. Signe de g(x) sur ]α ; +∞[

Réponse : -

Partie B - 1. Démontrer que, pour tout entier naturel n, on a 2 ≤ a_n ≤ α.

Réponse : Démonstration par récurrence : initialisation vérifiée car $2 \le a_0 \le \alpha$ ; hérédité assurée par la stricte croissance de $f$ : $2 \le f(2) \le f(a_n) = a_{n+1} \le f(\alpha) = \alpha$ .

Partie B - 2. Démontrer que la suite (a_n) est croissante.

Réponse : Pour tout $n$ , $a_{n+1} - a_n = g(a_n) \ge 0$ car $a_n \in [2 ; \alpha]$ et $g \ge 0$ sur cet intervalle. Donc $(a_n)$ est croissante.

Partie B - 3. Démontrer que la suite (a_n) converge.

Réponse : La suite $(a_n)$ est croissante et majorée par $\alpha$ . D'après le théorème de convergence monotone, elle converge.

Partie B - 4. Démontrer que la limite de la suite (a_n) est α.

Réponse : Par continuité de $f$ sur $[2 ; +\infty[$ , la limite $\ell$ vérifie $f(\ell) = \ell$ , soit $g(\ell) = 0$ . Comme $\alpha$ est l'unique solution de cette équation sur $[2 ; +\infty[$ , $\ell = \alpha$ .

Partie C - 1. Justifier que, pour tout entier naturel n, on a a_n ≤ b_n.

Réponse : Pour tout $n$ , $a_n \le \alpha$ d'après la partie B. De plus, $(b_n)$ décroît vers $\alpha$ , donc tous ses termes vérifient $b_n \ge \alpha$ . Ainsi $a_n \le \alpha \le b_n$ , d'où $a_n \le b_n$ .

Partie C - 2. a. Valeur de n renvoyée par algo(2)

Réponse : 9

Partie C - 2. a. Valeur de a renvoyée par algo(2)

Réponse : $4{,}044$

Partie C - 2. b. Interpréter les valeurs renvoyées dans le contexte de l'exercice.

Réponse : L'algorithme détermine le plus petit entier $n$ ( $n = 9$ ) tel que l'amplitude de l'encadrement $[a_n ; b_n]$ de $\alpha$ soit inférieure ou égale à $10^{-2}$ . La valeur $a_9 \approx 4{,}044$ est donc une valeur approchée de $\alpha$ à $10^{-2}$ près par défaut.

L’explication pas à pas, faite avec l’IA, est réservée aux membres Premium. Premium

Résous-le ici : correction automatique, indices et corrigé détaillé.

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