Exercice 2 - Affirmations 3, 4 et 5 · Bac Mathématiques Centres étrangers (Afrique) 2026 (jour 1)

Énoncé

EXERCICE 2 (5 points)

Pour chacune des affirmations suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse.

Chaque réponse doit être justifiée. Une réponse non justifiée ne rapporte aucun point.

Dans cet exercice, les questions sont indépendantes les unes des autres.

On considère la suite $(v_n)$ définie pour tout entier naturel $n$ par:

$v_n = \frac{2n + \sin(n)}{n + 1}$

AFFIRMATION 3: La suite $(v_n)$ diverge.

Vraie

Fausse

On considère la suite $(u_n)$ définie par $u_1 = 1$ et pour tout entier naturel $n$ supérieur ou égal à 1:

$u_{n+1} = u_n + 2n + 1$

AFFIRMATION 4: Pour tout entier naturel $n$ supérieur ou égal à 1 on a $u_n = n^2$ .

Vraie

Fausse

On considère la suite $(u_n)$ définie, pour tout entier naturel $n$ , par $u_n = \mathrm{e}^{-n}$ .

On pose, pour tout entier naturel $n$ , $S_n = u_0 + u_1 + u_2 + \dots + u_n$ .

AFFIRMATION 5: $\lim\limits_{n\to+\infty} S_n = \frac{\mathrm{e}}{\mathrm{e}-1}$

Vraie

Fausse

Énoncé: Exercice 2 - Affirmations 3, 4 et 5 · Bac Mathématiques Centres étrangers (Afrique) 2026 (jour 1)

Corrigé établi d’après les éléments de correction officiels

AFFIRMATION 3 : La suite $(v_n)$ diverge.

Réponse : Fausse

Justification (affirmation 3)

Réponse : Par encadrement, sin(n)/(n+1) tend vers 0 et 2n/(n+1) tend vers 2, donc (v_n) converge vers 2.

AFFIRMATION 4 : Pour tout entier naturel $n$ supérieur ou égal à 1 on a $u_n = n^2$ .

Réponse : Vraie

Justification (affirmation 4)

Réponse : Démonstration par récurrence : u_1 = 1^2, et si u_n = n^2 alors u_{n+1} = n^2 + 2n + 1 = (n+1)^2.

AFFIRMATION 5 : $\lim\limits_{n\to+\infty} S_n = \frac{\mathrm{e}}{\mathrm{e}-1}$

Réponse : Vraie

Justification (affirmation 5)

Réponse : Suite géométrique de raison e^(-1) < 1, S_n = (1 - e^(-(n+1)))/(1 - e^(-1)) dont la limite est 1/(1 - 1/e) = e/(e-1).

L’explication pas à pas, faite avec l’IA, est réservée aux membres Premium. Premium

Résous-le ici : correction automatique, indices et corrigé détaillé.