Exercice 3 - Partie B · Bac Mathématiques Centres étrangers (Afrique) 2025 (jour 1)

1. Montrer par récurrence que, pour tout n entier naturel, 2 <= u_n <= u_{n+1} <= 6,5.

Réponse : Démonstration par récurrence : - Initialisation : pour $n = 0$, $u_0 = 2$ et $u_1 = f(2) \approx 4{,}23$, donc $2 \leqslant u_0 \leqslant u_1 \leqslant 6{,}5$. - Hérédité : si $2 \leqslant u_n \leqslant u_{n+1} \leqslant 6{,}5$, alors par croissance de $f$ sur $[2 ; 6{,}5]$, $f(2) \leqslant f(u_n) \leqslant f(u_{n+1}) \leqslant f(6{,}5)$, d'où $2 \leqslant u_{n+1} \leqslant u_{n+2} \leqslant 6{,}5$. - Conclusion : pour tout $n \in \mathbb{N}$, $2 \leqslant u_n \leqslant u_{n+1} \leqslant 6{,}5$.

2. En déduire que la suite (u_n) converge vers une limite l.

Réponse : La suite $(u_n)$ est croissante et majorée par $6{,}5$, donc d'après le théorème de convergence monotone, elle converge vers une limite réelle $\ell$.

3. On rappelle que le réel alpha, défini dans la partie A, est la solution de l'équation h(x) = 0 sur l'intervalle [2 ; 6,5]. Justifier que l = alpha.

Réponse : La fonction $f$ étant continue sur $[2 ; 6{,}5]$, en passant à la limite dans $u_{n+1} = f(u_n)$, on obtient $\ell = f(\ell)$, soit $f(\ell) - \ell = 0$, c'est-à-dire $h(\ell) = 0$. Comme $\alpha$ est l'unique solution de $h(x) = 0$ sur $[2 ; 6{,}5]$, on a $\ell = \alpha$.