Exercice 4 · Bac Mathématiques Centres étrangers (Afrique) 2024 (jour 2)

Partie A 1. Démontrer que la fonction f est croissante sur l'intervalle [0 ; +∞[.

Réponse : $f'(x) = \frac{1}{2\sqrt{x+1}} > 0$ pour tout $x \in [0\,;\,+\infty[$, donc $f$ est strictement croissante.

Partie A 2. Démontrer que pour tout nombre réel x appartenant à l'intervalle [0 ; +∞[ : f(x) - x = (-x² + x + 1) / (√(x+1) + x)

Réponse : $f(x) - x = \frac{(\sqrt{x+1} - x)(\sqrt{x+1} + x)}{\sqrt{x+1} + x} = \frac{-x^2 + x + 1}{\sqrt{x+1} + x}$

Partie A 3. En déduire que sur l'intervalle [0 ; +∞[ l'équation f(x) = x admet pour unique solution : ℓ = (1 + √5) / 2

Réponse : $\ell = \frac{1 + \sqrt{5}}{2}$

Partie B 1. Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel n, on a 1 ≤ u_{n+1} ≤ u_n.

Réponse : Initialisation : $u_0 = 5$, $u_1 = \sqrt{6} \approx 2{,}45$, donc $1 \le u_1 \le u_0$. Hérédité : Si $1 \le u_{n} \le u_{n-1}$, par croissance de $f$ sur $[0\,;\,+\infty[$, $f(1) \le f(u_{n}) \le f(u_{n-1})$ d'où $1 \le \sqrt{2} \le u_{n+1} \le u_n$.

Partie B 2. En déduire que la suite (u_n) converge.

Réponse : La suite $(u_n)$ est décroissante et minorée par 1, donc elle converge d'après le théorème de convergence monotone.

Partie B 3. Démontrer que la suite (u_n) converge vers ℓ = (1 + √5) / 2.

Réponse : Par continuité de $f$, $\lim u_{n+1} = f(\lim u_n) \Rightarrow \ell = f(\ell)$. L'unique solution dans $[0\,;\,+\infty[$ étant $(1+\sqrt{5})/2$, $(u_n)$ converge vers cette valeur.

Partie B 4.a. Donner la valeur renvoyée par seuil(2).

Réponse : 5

Partie B 4.b. La valeur renvoyée par seuil(4) est 9. Interpréter cette valeur dans le contexte de l'exercice.

Réponse : À partir du rang $n = 9$, la valeur $u_n$ est à moins de $10^{-4}$ de la limite $\ell$ (ou $|u_9 - \ell| < 10^{-4}$).