Exercice 2 · Bac Mathématiques Centres étrangers (Afrique) 2024 (jour 1)

Exercice 2 (5 points)

On considère la fonction $f$ définie sur l'intervalle $[0; 1]$ par $f(x) = 2xe^{-x}$.

On admet que la fonction $f$ est dérivable sur l'intervalle $[0; 1]$.

1. a.

Résoudre sur l'intervalle $[0; 1]$ l'équation $f(x) = x$.

1. b.

Démontrer que, pour tout $x$ appartenant à l'intervalle $[0; 1]$, $f'(x) = 2(1 - x)e^{-x}$.

1. c.

Donner le tableau de variations de la fonction $f$ sur l'intervalle $[0; 1]$.

On considère la suite $(u_n)$ définie par $u_0 = 0{,}1$ et pour tout entier naturel $n$, $u_{n+1} = f(u_n)$.

2. a.

Démontrer par récurrence que, pour tout $n$ entier naturel, $0 \leq u_n < u_{n+1} \leq 1$.

2. b.

En déduire que la suite $(u_n)$ est convergente.

3.

Démontrer que la limite de la suite $(u_n)$ est $\ln(2)$.

4. a.

Justifier que pour tout entier naturel $n$, $\ln(2) - u_n$ est positif.

4. b.

On souhaite écrire un script Python qui renvoie une valeur approchée de $\ln(2)$ par défaut à $10^{-4}$ près, ainsi que le nombre d'étapes pour y parvenir.

Recopier et compléter le script ci-dessous afin qu'il réponde au problème posé.

def seuil():

n=0

u=0.1

while ln(2) - u... 0.0001:

n=n+1

u=...

return (u,n)

4. c.

Donner la valeur de la variable n renvoyée par la fonction seuil().