Exercice 2 · Bac Mathématiques Centres étrangers (Afrique) 2023 (jour 2)

Thème : Suites : récurrence, convergence et limites · Tiré du sujet Jour 2 (2023)

Énoncé

Exercice 2 (6 points)

On considère la fonction ff définie sur ]−1,5 ; +∞[]-1{,}5\,;\,+\infty[ par f(x)=ln⁡(2x+3)−1f(x) = \ln(2x+3) - 1.

Le but de cet exercice est d'étudier la convergence de la suite (un)(u_n) définie par: u0=0u_0 = 0 et un+1=f(un)u_{n+1} = f(u_n) pour tout entier naturel nn.

Partie A: Étude d'une fonction auxiliaire

On considère la fonction gg définie sur ]−1,5 ; +∞[]-1{,}5\,;\,+\infty[ par g(x)=f(x)−xg(x) = f(x) - x.

1.

Déterminer la limite de la fonction gg en −1,5-1{,}5.

On admet que la limite de la fonction gg en +∞+\infty est −∞-\infty.

2.

Étudier les variations de la fonction gg sur ]−1,5 ; +∞[]-1{,}5\,;\,+\infty[.

3. a.

Démontrer que, dans l'intervalle ]−0,5 ; +∞[]-0{,}5\,;\,+\infty[, l'équation g(x)=0g(x) = 0 admet une unique solution α\alpha.

3. b.

Déterminer un encadrement de α\alpha d'amplitude 10−210^{-2}.

< α\alpha <

Partie B: Étude de la suite (un)(u_n)

On admet que la fonction ff est strictement croissante sur ]−1,5 ; +∞[]-1{,}5\,;\,+\infty[.

1.

Soit xx un nombre réel. Montrer que si x∈[−1 ; α]x \in [-1\,;\,\alpha] alors f(x)∈[−1 ; α]f(x) \in [-1\,;\,\alpha].

2. a.

Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel nn: −1⩽un⩽un+1⩽α-1 \leqslant u_n \leqslant u_{n+1} \leqslant \alpha

2. b.

En déduire que la suite (un)(u_n) converge.

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Corrigé

Corrigé établi d’après les éléments de correction officiels

1. Déterminer la limite de la fonction g en -1,5.

Réponse : −∞-\infty

2. Étudier les variations de la fonction g sur ]-1,5 ; +inf[.

Réponse : gg est strictement croissante sur ]−1,5 ; −0,5]]-1{,}5\,;\,-0{,}5] et strictement décroissante sur [−0,5 ; +∞[[-0{,}5\,;\,+\infty[.

3. a. Démontrer que, dans l'intervalle ]-0,5 ; +inf[, l'équation g(x) = 0 admet une unique solution alpha.

Réponse : D'après le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires, l'équation g(x)=0g(x) = 0 admet une unique solution α\alpha sur ]−0,5 ; +∞[]-0{,}5\,;\,+\infty[.

3. b. Déterminer un encadrement de alpha d'amplitude 10^-2.

Réponse : 0,25<α<0,260{,}25 < \alpha < 0{,}26

1. Soit x un nombre réel. Montrer que si x dans [-1 ; alpha] alors f(x) dans [-1 ; alpha].

Réponse : Comme ff est strictement croissante, −1⩽x⩽α  ⟹  f(−1)⩽f(x)⩽f(α)-1 \leqslant x \leqslant \alpha \implies f(-1) \leqslant f(x) \leqslant f(\alpha), avec f(−1)=−1f(-1) = -1 et f(α)=αf(\alpha) = \alpha, d'où f(x)∈[−1 ; α]f(x) \in [-1\,;\,\alpha].

2. a. Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel n : -1 <= u_n <= u_(n+1) <= alpha.

Réponse : Par récurrence : initialisation vérifiée car −1⩽0⩽ln⁡(3)−1⩽α-1 \leqslant 0 \leqslant \ln(3)-1 \leqslant \alpha, et hérédité assurée par la croissance de ff sur [−1 ; α][-1\,;\,\alpha].

2. b. En déduire que la suite (u_n) converge.

Réponse : La suite (un)(u_n) est croissante et majorée par α\alpha, donc elle converge en vertu du théorème de convergence monotone.

En déduire que la suite (un)(u_n) converge.

Réponse : La suite (un)(u_n) est croissante et majorée par α\alpha, donc d'après le théorème de convergence monotone, elle converge.

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