Exercice 3 · Bac Mathématiques Centres étrangers (Afrique) 2022 (jour 1)

Exercice 3 (7 points) — Thèmes: Fonction exponentielle et suite

Partie A:

Soit $h$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $$h(x) = \mathrm{e}^x - x$$

1-

Déterminer les limites de $h$ en $-\infty$ et $+\infty$.

2-

Étudier les variations de $h$ et dresser son tableau de variation.

3-

En déduire que: si $a$ et $b$ sont deux réels tels que $0 \leqslant a \leqslant b$ alors $h(a) - h(b) \leqslant 0$.

Partie B:

Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $$f(x) = \mathrm{e}^x$$

On note $C_f$ sa courbe représentative dans un repère $(O; \vec{\imath}, \vec{\jmath})$.

1-

Déterminer une équation de la tangente $T$ à $C_f$ au point d'abscisse 0.

Dans la suite de l'exercice on s'intéresse à l'écart entre $T$ et $C_f$ au voisinage de 0. Cet écart est défini comme la différence des ordonnées des points de $T$ et $C_f$ de même abscisse.

On s'intéresse aux points d'abscisse $\frac{1}{n}$, avec $n$ entier naturel non nul.

On considère alors la suite $(u_n)$ définie pour tout entier naturel non nul $n$ par:

$$u_n = \exp\left(\frac{1}{n}\right) - \frac{1}{n} - 1$$

2-

Déterminer la limite de la suite $(u_n)$.

3- a-

Démontrer que, pour tout entier naturel non nul $n$,

$$u_{n+1} - u_n = h\left(\frac{1}{n+1}\right) - h\left(\frac{1}{n}\right)$$

où $h$ est la fonction définie à la partie A.

3- b-

En déduire le sens de variation de la suite $(u_n)$.

4-

Le tableau ci-dessous donne des valeurs approchées à $10^{-9}$ des premiers termes de la suite $(u_n)$.

$n$

$u_n$

1 · 0,718281828

2 · 0,148721271

3 · 0,062279092

4 · 0,034025417

5 · 0,021402758

6 · 0,014693746

7 · 0,010707852

8 · 0,008148453

9 · 0,006407958

10 · 0,005170918

Donner la plus petite valeur de l'entier naturel $n$ pour laquelle l'écart entre $T$ et $C_f$ semble être inférieur à $10^{-2}$.