Exercice 3 · Bac Mathématiques Centres étrangers (Afrique) 2021 (jour 1)

1. Calculer $a_1$.

Réponse : 620

2. Justifier que pour tout entier naturel $n$, $a_{n+1} = 0{,}85a_n + 450$.

Réponse : Au mois $n+1$, 85 % des télétravailleurs du mois $n$ continuent ($0{,}85a_n$) et 450 collaborateurs supplémentaires s'ajoutent, donc $a_{n+1} = 0{,}85a_n + 450$.

3. a. Démontrer que la suite $(v_n)$ est une suite géométrique de raison 0,85.

Réponse : $v_{n+1} = a_{n+1} - 3\,000 = 0{,}85a_n + 450 - 3\,000 = 0{,}85(a_n - 3\,000) = 0{,}85v_n$. C'est une suite géométrique de raison 0,85 et de premier terme $v_0 = -2\,800$.

3. b. Exprimer $v_n$ en fonction de $n$ pour tout entier naturel $n$.

Réponse : $-2\,800 \times 0{,}85^n$

3. c. En déduire que, pour tout entier naturel $n$, $a_n = -2\,800 \times 0{,}85^n + 3\,000$.

Réponse : Comme $v_n = a_n - 3\,000$, on a $a_n = v_n + 3\,000 = -2\,800 \times 0{,}85^n + 3\,000$.

4. Déterminer le nombre de mois au bout duquel le nombre de télétravailleurs sera strictement supérieur à 2 500, après la mise en place de cette mesure dans l'entreprise.

Réponse : 11

1. Démontrer que la fonction $f$ définie pour tout $x \in [0 ; +\infty[$ par $f(x) = \frac{5x+4}{x+2}$ est strictement croissante sur $[0 ; +\infty[$.

Réponse : $f'(x) = \frac{6}{(x+2)^2} > 0$ sur $[0 ; +\infty[$, donc $f$ est strictement croissante.

2. a. Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel $n$, $0 \le u_n \le u_{n+1} \le 4$.

Réponse : Initialisation : $u_0 = 1$ et $u_1 = 3$, donc $0 \le u_0 \le u_1 \le 4$ est vraie. Hérédité : Si $0 \le u_n \le u_{n+1} \le 4$, par stricte croissance de $f$, $f(0) \le f(u_n) \le f(u_{n+1}) \le f(4)$, soit $2 \le u_{n+1} \le u_{n+2} \le 4$, ce qui implique $0 \le u_{n+1} \le u_{n+2} \le 4$.

2. b. Justifier que la suite $(u_n)$ est convergente.

Réponse : La suite $(u_n)$ est croissante et majorée par 4, donc d'après le théorème de la limite monotone, elle converge vers un réel $\ell$.

3. En déduire la limite de la suite $(u_n)$

Réponse : 4

3. et l'interpréter dans le contexte de la modélisation.

Réponse : Au bout d'un grand nombre de mois, le nombre de collaborateurs satisfaits par cette nouvelle mesure tend vers 4 000.