Exercice 2 - Partie A · Bac Mathématiques Centres étrangers (Afrique) 2021 (jour 2)

1. a) Expliquer en quoi cette modélisation correspond à la situation étudiée.

Réponse : Chaque année, 2 % des panneaux sont retirés (il en reste 98 %, soit un facteur 0,98) et 250 nouveaux sont installés, d'où $u_{n+1} = 0{,}98u_n + 250$. Au 1er janvier 2020 ($n=0$), la centrale possédait 10 560 panneaux, soit $u_0 = 10\,560$.

1. b) On souhaite savoir au bout de combien d'années le nombre de panneaux solaires sera strictement supérieur à 12 000. À l'aide de la calculatrice, donner la réponse à ce problème.

Réponse : 68

1. c) Recopier et compléter le programme en Python ci-dessous de sorte que la valeur cherchée à la question précédente soit stockée dans la variable n à l'issue de l'exécution de ce dernier.

Réponse : ```python u = 10560 n = 0 while u <= 12000: u = 0.98 * u + 250 n = n + 1 ```

2. Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel n, on a u_n <= 12 500.

Réponse : Pour tout $n \in \mathbb{N}$, soit $\mathcal{P}_n : u_n \le 12\,500$. - Initialisation : $u_0 = 10\,560 \le 12\,500$, donc $\mathcal{P}_0$ est vraie. - Hérédité : Si $u_n \le 12\,500$, alors $0{,}98u_n \le 12\,250$ car $0{,}98 > 0$, puis $0{,}98u_n + 250 \le 12\,500$, soit $u_{n+1} \le 12\,500$. - Conclusion : Par récurrence, $u_n \le 12\,500$ pour tout $n \in \mathbb{N}$.

3. Démontrer que la suite (u_n) est croissante.

Réponse : $u_{n+1} - u_n = 250 - 0{,}02u_n$. Comme $u_n \le 12\,500$, on a $-0{,}02u_n \ge -250$, donc $u_{n+1} - u_n \ge 0$, la suite est croissante.

4. En déduire que la suite (u_n) converge. Il n'est pas demandé, ici, de calculer sa limite.

Réponse : La suite $(u_n)$ est croissante et majorée par 12 500, donc d'après le théorème de la limite monotone, elle converge.

5. a) Premier terme v_0 :

Réponse : -1940

5. a) Démonstration que (v_n) est une suite géométrique de raison 0,98 :

Réponse : $v_{n+1} = u_{n+1} - 12\,500 = 0{,}98u_n + 250 - 12\,500 = 0{,}98u_n - 12\,250 = 0{,}98(u_n - 12\,500) = 0{,}98v_n$.

5. b) Exprimer, pour tout entier naturel n, v_n en fonction de n.

Réponse : $v_n = -1\,940 \times 0{,}98^n$

5. c) En déduire, pour tout entier naturel n, u_n en fonction de n.

Réponse : $u_n = 12\,500 - 1\,940 \times 0{,}98^n$

5. d) Déterminer la limite de la suite (u_n).

Réponse : 12500

5. d) Interpréter ce résultat dans le contexte du modèle.

Réponse : Au bout d'un grand nombre d'années, le nombre de panneaux solaires de la centrale Big Sun se stabilisera autour de 12 500.