Exercice 1 - Partie C.1 · Bac Mathématiques Centres étrangers (Afrique) 2026 (jour 1)

EXERCICE 1 (5 points)

La fédération internationale d'escrime établit des normes de fabrication sur les lames des armes des tireurs afin de garantir au maximum leur sécurité.

Pour tester la conformité de l'acier employé, la lame est pliée puis redressée toutes les secondes jusqu'à la rupture. La lame est conforme si la rupture intervient après plus de cinq heures de test.

Un équipementier d'escrime se fournit auprès de trois fabricants de lames. Son stock est composé de 60 % de lames du fournisseur $A$, de 12 % de lames du fournisseur $B$, le reste venant du fournisseur $C$.

Une étude qualité a montré que:

90 % des lames du fournisseur $A$ étaient conformes;

95 % des lames du fournisseur $B$ étaient conformes;

85 % des lames du fournisseur $C$ étaient conformes.

Partie C

Soit $n$ un entier strictement positif désignant le nombre de compétitions durant lesquelles l'équipementier est présent.

Il apporte à chaque fois un échantillon de 75 lames. Les variables aléatoires $X_1, \dots, X_n$, que l'on considère indépendantes, donnent pour chaque échantillon le nombre de lames non conformes.

On pose $M_n = \dfrac{X_1 + X_2 + \dots + X_n}{n}$.

1.

Déterminer l'espérance $E(M_n)$ et la variance $V(M_n)$ de la variable aléatoire $M_n$.

(en fonction de $n$, ex. 7,2252/n)