Exercice 4 - Variables aléatoires et espérance · Bac Mathématiques Centres étrangers (Afrique) 2022 (jour 2)

Une urne contient des jetons blancs et noirs tous indiscernables au toucher.

Une partie consiste à prélever au hasard successivement et avec remise deux jetons de cette urne.

On établit la règle de jeu suivante:

un joueur perd 9 euros si les deux jetons tirés sont de couleur blanche;

un joueur perd 1 euro si les deux jetons tirés sont de couleur noire;

un joueur gagne 5 euros si les deux jetons tirés sont de couleurs différentes.

1.

On considère que l'urne contient 2 jetons noirs et 3 jetons blancs.

a.

Modéliser la situation à l'aide d'un arbre pondéré.

b.

2.

On considère maintenant que l'urne contient 3 jetons blancs et au moins deux jetons noirs mais on ne connait pas le nombre exact de jetons noirs. On appellera $N$ le nombre de jetons noirs.

a.

Soit $X$ la variable aléatoire donnant le gain du jeu pour une partie. Déterminer la loi de probabilité de cette variable aléatoire en fonction de $N$:

$x_i$

$-9$

$-1$

$5$

$P(X = x_i)$

b.

c.

d.