Exercice 1 - Sommes de variables aléatoires · Bac Mathématiques Centres étrangers (Afrique) 2024 (jour 2)

Thème : Sommes de variables aléatoires, espérance, variance et échantillon · Tiré du sujet Jour 2 (2024)

Énoncé

Exercice 1 (5 points)

Un sac opaque contient huit jetons numérotés de 1 à 8, indiscernables au toucher.

À trois reprises, un joueur pioche un jeton dans ce sac, note son numéro, puis le remet dans le sac.

Dans ce contexte, on appelle « tirage » la liste ordonnée des trois numéros obtenus.

Par exemple, si le joueur pioche le jeton numéro 4, puis le jeton numéro 5, puis le jeton numéro 1, alors le tirage correspondant est $(4\; 5\; 1)$ .

On note $X_1$ la variable aléatoire égale au numéro du premier jeton pioché, $X_2$ celle égale au numéro du deuxième jeton pioché et $X_3$ celle égale au numéro du troisième jeton pioché. Puisqu'il s'agit d'un tirage avec remise, les variables aléatoires $X_1, X_2$ et $X_3$ sont indépendantes et suivent la même loi de probabilité.

Établir la loi de probabilité de la variable aléatoire $X_1$ . Compléter les probabilités associées à chaque valeur $k$ :

$k$

$\mathbb{P}(X_1 = k)$

Déterminer l'espérance de la variable aléatoire $X_1$ .

On note $S = X_1 + X_2 + X_3$ la variable aléatoire égale à la somme des numéros des trois jetons piochés.

Déterminer l'espérance de la variable aléatoire $S$ .

Déterminer $\mathbb{P}(S = 24)$ .

Si un joueur obtient une somme supérieure ou égale à 22, alors il gagne un lot.

7. a.

Justifier qu'il existe exactement 10 tirages permettant de gagner un lot.

7. b.

En déduire la probabilité de gagner un lot.

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Corrigé

Corrigé établi d’après les éléments de correction officiels

3. Établir la loi de probabilité de la variable aléatoire X1 : P(X1 = 1)

Réponse : 1/8

3. Établir la loi de probabilité de la variable aléatoire X1 : P(X1 = 2)

Réponse : 1/8

3. Établir la loi de probabilité de la variable aléatoire X1 : P(X1 = 3)

Réponse : 1/8

3. Établir la loi de probabilité de la variable aléatoire X1 : P(X1 = 4)

Réponse : 1/8

3. Établir la loi de probabilité de la variable aléatoire X1 : P(X1 = 5)

Réponse : 1/8

3. Établir la loi de probabilité de la variable aléatoire X1 : P(X1 = 6)

Réponse : 1/8

3. Établir la loi de probabilité de la variable aléatoire X1 : P(X1 = 7)

Réponse : 1/8

3. Établir la loi de probabilité de la variable aléatoire X1 : P(X1 = 8)

Réponse : 1/8

4. Déterminer l'espérance de la variable aléatoire X1.

Réponse : 4,5 / 9/2

5. Déterminer l'espérance de la variable aléatoire S.

Réponse : 13,5 / 27/2

6. Déterminer P(S = 24).

Réponse : 1/512

7. a. Justifier qu'il existe exactement 10 tirages permettant de gagner un lot.

Réponse : On cherche les tirages donnant $S \in \{22, 23, 24\}$ : - Pour $S = 24$ : 1 tirage, $(8, 8, 8)$ . - Pour $S = 23$ : 3 tirages, $(8, 8, 7)$ , $(8, 7, 8)$ , $(7, 8, 8)$ . - Pour $S = 22$ : les décompositions possibles avec des entiers entre 1 et 8 sont $8+8+6$ (3 permutations) et $8+7+7$ (3 permutations), soit 6 tirages au total : $(8, 8, 6)$ , $(8, 6, 8)$ , $(6, 8, 8)$ , $(8, 7, 7)$ , $(7, 8, 7)$ , $(7, 7, 8)$ . Au total, il y a $1 + 3 + 6 = 10$ tirages favorables.

7. b. En déduire la probabilité de gagner un lot.

Réponse : 10/512 / 5/256

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