Exercice B - Équation différentielle · Bac Mathématiques Centres étrangers (Afrique) 2021 (jour 2)

Thème : Primitives et équations différentielles · Tiré du sujet Jour 2 (2021)

Énoncé

EXERCICE B - Équation différentielle

Partie A: Détermination d'une fonction ff et résolution d'une équation différentielle

On considère la fonction ff définie sur R\mathbb{R} par:

f(x)=ex+ax+be−xf(x) = \mathrm{e}^x + ax + b\mathrm{e}^{-x}

où aa et bb sont des nombres réels que l'on propose de déterminer dans cette partie.

Dans le plan muni d'un repère d'origine OO, on a représenté ci-dessous la courbe C\mathcal{C}, représentant la fonction ff, et la tangente (T)(T) à la courbe C\mathcal{C} au point d'abscisse 00.

1.

Par lecture graphique, donner les valeurs de f(0)f(0) et de f′(0)f'(0).

2.

En utilisant l'expression de la fonction ff, exprimer f(0)f(0) en fonction de bb et en déduire la valeur de bb.

3.

On admet que la fonction ff est dérivable sur R\mathbb{R} et on note f′f' sa fonction dérivée.

a.

Donner, pour tout réel xx, l'expression de f′(x)f'(x).

b.

Exprimer f′(0)f'(0) en fonction de aa.

c.

En utilisant les questions précédentes, déterminer aa, puis en déduire l'expression de f(x)f(x).

4.

On considère l'équation différentielle:

(E):y′+y=2ex−x−1(\mathrm{E}): y' + y = 2\mathrm{e}^x - x - 1

a.

Vérifier que la fonction gg définie sur R\mathbb{R} par g(x)=ex−x+2e−xg(x) = \mathrm{e}^x - x + 2\mathrm{e}^{-x} est solution de l'équation (E)(\mathrm{E}).

b.

Résoudre l'équation différentielle y′+y=0y' + y = 0.

c.

En déduire toutes les solutions de l'équation (E)(\mathrm{E}).

Partie B: Étude de la fonction gg sur [1;+∞[[1; +\infty[

1.

Vérifier que pour tout réel xx, on a:

e2x−ex−2=(ex−2)(ex+1)\mathrm{e}^{2x} - \mathrm{e}^x - 2 = (\mathrm{e}^x - 2)(\mathrm{e}^x + 1)

2.

En déduire une expression factorisée de g′(x)g'(x), pour tout réel xx.

3.

On admettra que, pour tout x∈[1;+∞[x \in [1; +\infty[, ex−2>0\mathrm{e}^x - 2 > 0.

Étudier le sens de variation de la fonction gg sur [1;+∞[[1; +\infty[.

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Corrigé

Corrigé établi d’après les éléments de correction officiels

1. Par lecture graphique, donner la valeur de f(0).

Réponse : 3

1. Par lecture graphique, donner la valeur de f'(0).

Réponse : -2

2. En utilisant l'expression de la fonction f, exprimer f(0) en fonction de b.

Réponse : 1+b1 + b

2. En déduire la valeur de b.

Réponse : 2

3. a. Donner, pour tout réel x, l'expression de f'(x).

Réponse : f′(x)=ex−2e−x+af'(x) = \mathrm{e}^x - 2\mathrm{e}^{-x} + a

3. b. Exprimer f'(0) en fonction de a.

Réponse : a−1a - 1

3. c. En utilisant les questions précédentes, déterminer a.

Réponse : -1

3. c. En déduire l'expression de f(x).

Réponse : f(x)=ex−x+2e−xf(x) = \mathrm{e}^x - x + 2\mathrm{e}^{-x}

4. a. Vérifier que la fonction g définie sur R par g(x) = e^x - x + 2e^(-x) est solution de l'équation (E).

Réponse : g′(x)+g(x)=ex−2e−x−1+ex−x+2e−x=2ex−x−1g'(x) + g(x) = \mathrm{e}^x - 2\mathrm{e}^{-x} - 1 + \mathrm{e}^x - x + 2\mathrm{e}^{-x} = 2\mathrm{e}^x - x - 1

4. b. Résoudre l'équation différentielle y' + y = 0.

Réponse : x↦ke−xx \mapsto k\mathrm{e}^{-x} avec k∈Rk \in \mathbb{R}

4. c. En déduire toutes les solutions de l'équation (E).

Réponse : x↦ex−x+(k+2)e−xx \mapsto \mathrm{e}^x - x + (k+2)\mathrm{e}^{-x} ou x↦ke−x+ex−x+2e−xx \mapsto k\mathrm{e}^{-x} + \mathrm{e}^x - x + 2\mathrm{e}^{-x} avec k∈Rk \in \mathbb{R}

Partie B - 1. Vérifier que pour tout réel x, on a : e^(2x) - e^x - 2 = (e^x - 2)(e^x + 1).

Réponse : (ex−2)(ex+1)=e2x+ex−2ex−2=e2x−ex−2(\mathrm{e}^x - 2)(\mathrm{e}^x + 1) = \mathrm{e}^{2x} + \mathrm{e}^x - 2\mathrm{e}^x - 2 = \mathrm{e}^{2x} - \mathrm{e}^x - 2

Partie B - 2. En déduire une expression factorisée de g'(x), pour tout réel x.

Réponse : g′(x)=e−x(ex−2)(ex+1)g'(x) = \mathrm{e}^{-x}(\mathrm{e}^x - 2)(\mathrm{e}^x + 1)

Partie B - 3. Étudier le sens de variation de la fonction g sur [1 ; +infini[.

Réponse : La fonction gg est strictement croissante sur [1;+∞[[1 ; +\infty[.

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