Exercice B · Bac Mathématiques Centres étrangers (Afrique) 2021 (jour 1)

Partie A - 1. On admet que la fonction g est dérivable sur ℝ et on note g' sa fonction dérivée. Montrer que, pour tout réel x : g'(x) = -2/3 e^(-1/3 x) + 2/3

Réponse : $g'(x) = -\frac{2}{3}e^{-\frac{1}{3}x} + \frac{2}{3}$

Partie A - 2. En déduire le sens de variations de la fonction g sur ℝ.

Réponse : $g$ est strictement décroissante sur $]-\infty ; 0]$ et strictement croissante sur $[0 ; +\infty[$

Partie A - 3. Déterminer le signe de g(x), pour tout x réel.

Réponse : Pour tout $x \in \mathbb{R}$, $g(x) \geqslant 0$

Partie B - 1. On considère l'équation différentielle (E) : 3y' + y = 0. Résoudre l'équation différentielle (E).

Réponse : $y(x) = k e^{-\frac{1}{3}x}$ avec $k \in \mathbb{R}$

Partie B - 2. Déterminer la solution particulière dont la courbe représentative, dans un repère du plan, passe par le point M(0 ; 2).

Réponse : $y_p(x) = 2e^{-\frac{1}{3}x}$

Partie B - 3.a. Montrer que la tangente (Δ₀) à la courbe C_f au point M(0 ; 2) admet une équation de la forme : y = -2/3 x + 2

Réponse : $y = -\frac{2}{3}x + 2$

Partie B - 3.b. Étudier, sur ℝ, la position de cette courbe C_f par rapport à la tangente (Δ₀).

Réponse : La courbe $\mathcal{C}_f$ est située au-dessus de la tangente $(\Delta_0)$ sur $\mathbb{R}$ (avec point de contact en $x = 0$)

Partie C - 1. Montrer que la tangente (Δ_a) à la courbe C_f au point A coupe l'axe des abscisses en un point P d'abscisse a + 3.

Réponse : $x_P = a + 3$

Partie C - 2. Expliquer la construction de la tangente (Δ_{-2}) à la courbe C_f au point B d'abscisse -2.

Réponse : Tracer la droite reliant le point $B(-2 ; f(-2))$ et le point d'abscisse $a+3 = -2+3 = 1$ sur l'axe des abscisses, soit le point $(1 ; 0)$.