Exercice 3 - Questions 1 à 6 · Bac Mathématiques Centres étrangers (Afrique) 2024 (jour 1)

Exercice 3 (5 points)

On considère l'équation différentielle $(E_0): y' = y$ où $y$ est une fonction dérivable de la variable réelle $x$.

On considère l'équation différentielle $(E_0): y' = y$ où $y$ est une fonction dérivable de la variable réelle $x$.

1.

Démontrer que l'unique fonction constante solution de l'équation différentielle $(E_0)$ est la fonction nulle.

2.

Déterminer toutes les solutions de l'équation différentielle $(E_0)$.

On considère l'équation différentielle $(E): y' = y - \cos(x) - 3\sin(x)$ où $y$ est une fonction dérivable de la variable réelle $x$.

3.

La fonction $h$ est définie sur $\mathbb{R}$ par $h(x) = 2\cos(x) + \sin(x)$. On admet qu'elle est dérivable sur $\mathbb{R}$. Démontrer que la fonction $h$ est solution de l'équation différentielle $(E)$.

4.

On considère une fonction $f$ définie et dérivable sur $\mathbb{R}$. Démontrer que: « $f$ est solution de $(E)$ » est équivalent à « $f - h$ est solution de $(E_0)$ ».

5.

En déduire toutes les solutions de l'équation différentielle $(E)$.

6.

Déterminer l'unique solution $g$ de l'équation différentielle $(E)$ telle que $g(0) = 0$.