Exercice 4 · Bac Mathématiques Centres étrangers (Afrique) 2025 (jour 1)

Exercice 4 (4 points)

Partie A

On considère l'équation différentielle $(E_1): y' + 0{,}48y = \frac{1}{250}$ où $y$ est une fonction de la variable $t$ définie sur l'intervalle $[0\,;\,+\infty[$.

1.

On considère la fonction constante $h$ définie sur l'intervalle $[0\,;\,+\infty[$ par $h(t) = \frac{1}{120}$. Montrer que la fonction $h$ est solution de l'équation différentielle $(E_1)$.

2.

Donner la forme générale des solutions de l'équation différentielle $y' + 0{,}48y = 0$.

3.

En déduire l'ensemble des solutions de l'équation différentielle $(E_1)$.

Partie B

On s'intéresse à présent à l'évolution d'une population de bactéries dans un milieu de culture. À un instant $t = 0$, on introduit une population initiale de $30\,000$ bactéries dans le milieu. On note $p(t)$ la quantité de bactéries, exprimée en millier d'individus, présente dans le milieu après un temps $t$, exprimé en heure. On a donc $p(0) = 30$.

On admet que la fonction $p$ définie sur l'intervalle $[0\,;\,+\infty[$ est dérivable, strictement positive sur cet intervalle et qu'elle est solution de l'équation différentielle $(E_2):$

$$p' = \frac{1}{250}p \times (120 - p)$$

Soit $y$ la fonction strictement positive sur l'intervalle $[0\,;\,+\infty[$ telle que, pour tout $t$ appartenant à l'intervalle $[0\,;\,+\infty[$, on a $p(t) = \frac{1}{y(t)}$.

1.

Montrer que si $p$ est solution de l'équation différentielle $(E_2)$, alors $y$ est solution de l'équation différentielle $(E_1): y' + 0{,}48y = \frac{1}{250}$.

2.

On admet réciproquement que, si $y$ est une solution strictement positive de l'équation différentielle $(E_1)$, alors $p = \frac{1}{y}$ est solution de l'équation différentielle $(E_2)$.

Montrer que, pour tout $t$ appartenant à l'intervalle $[0\,;\,+\infty[$, on a:

$$p(t) = \frac{120}{1 + Ke^{-0{,}48t}} \quad \text{avec } K \text{ une constante réelle.}$$

3.

En utilisant la condition initiale, déterminer la valeur de $K$.

4.

Déterminer $\lim\limits_{t \to +\infty} p(t)$. En donner une interprétation dans le contexte de l'exercice.

5.

Déterminer le temps nécessaire pour que la population de bactéries dépasse $60\,000$ individus. On donnera le résultat sous la forme d'une valeur arrondie exprimée en heures et minutes.

h

min