Exercice 3 - Partie A (questions 4 et 5) · Bac Mathématiques Centres étrangers (Afrique) 2025 (jour 1)

Thème : Limites de fonctions, continuité et théorème des valeurs intermédiaires · Tiré du sujet Jour 1 (2025)

Énoncé

Exercice 3

Partie A

On considère la fonction ff définie sur l'intervalle ]−1 ; +∞[]-1\,;\,+\infty[ par f(x)=4ln⁡(x+1)−x225f(x) = 4\ln(x + 1) - \dfrac{x^2}{25}.

On admet que la fonction ff est dérivable sur l'intervalle ]−1 ; +∞[]-1\,;\,+\infty[.

4.

On considère hh la fonction définie sur l'intervalle [2;6,5][2; 6,5] par h(x)=f(x)−xh(x) = f(x) - x. On donne ci-dessous le tableau de variations de la fonction hh:

Montrer que l'équation h(x)=0h(x) = 0 admet une unique solution α\alpha sur l'intervalle [2;6,5][2; 6,5].

5.

On considère le script suivant, écrit en langage Python:

from math import*

def f(x):

return(4*log(1+x)-(x**2)/25)

def bornes(n):

p = 1/10**n

x = 6

while f(x)-x > 0:

x = x+p

return (x-p,x)

On rappelle qu'en langage Python:

la commande log(x) renvoie la valeur ln⁡x\ln x;

la commande c**d renvoie la valeur de cdc^d.

a.

Donner les valeurs renvoyées par la commande bornes(2). On donnera les valeurs arrondies au centième.

(

,

)

b.

Interpréter ces valeurs dans le contexte de l'exercice.

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Corrigé

Corrigé établi d’après les éléments de correction officiels

4. Montrer que l'équation h(x) = 0 admet une unique solution alpha sur l'intervalle [2 ; 6,5].

Réponse : On a h(x)=f(x)−xh(x) = f(x) - x, et le tableau indique que : - h(2)≈2,19>0h(2) \approx 2,19 > 0 - h(m)≈2,265>0h(m) \approx 2,265 > 0 - h(6,5)≈−0,13<0h(6,5) \approx -0,13 < 0 - La fonction hh est continue sur [2;6,5][2 ; 6,5], car ff est dérivable donc continue. Sur [2;m][2 ; m], le minimum de hh est h(2)>0h(2) > 0, donc h(x)>0h(x) > 0 : l'équation h(x)=0h(x) = 0 n'a pas de solution sur cet intervalle. Sur [m;6,5][m ; 6,5], hh est continue et strictement décroissante. De plus, 0∈[h(6,5);h(m)]0 \in [h(6,5) ; h(m)] car h(6,5)<0<h(m)h(6,5) < 0 < h(m). Par le théorème des valeurs intermédiaires (ou son corollaire), l'équation h(x)=0h(x) = 0 admet une unique solution α\alpha sur l'intervalle [2;6,5][2 ; 6,5].

5. a. Donner la borne inférieure renvoyée par la commande bornes(2).

Réponse : 6,366{,}36

5. a. Donner la borne supérieure renvoyée par la commande bornes(2).

Réponse : 6,376{,}37

5. b. Interpréter ces valeurs dans le contexte de l'exercice.

Réponse : Ces deux valeurs encadrent la solution α\alpha de l'équation f(x)=xf(x) = x (ou h(x)=0h(x) = 0) à une précision de 10−210^{-2}. Donc α∈[6,36;6,37]\alpha \in [6,36 ; 6,37].

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