Exercice 4 - Partie D · Bac Mathématiques Centres étrangers (Afrique) 2026 (jour 2)

Thème : Compléments sur la dérivation : composée, dérivée seconde et convexité · Tiré du sujet Jour 2 (2026)

Énoncé

Partie D

On considère la fonction ff définie sur R\mathbb{R} par f(x)=e−x(x2−3x+2)f(x) = \mathrm{e}^{-x}(x^2 - 3x + 2) et on note Cf\mathcal{C}_f sa courbe représentative dans un repère orthogonal.

On considère un réel aa. On note (Ta)(T_a) la tangente à la courbe Cf\mathcal{C}_f au point d'abscisse aa.

1.

Démontrer que le point d'intersection de la tangente (Ta)(T_a) et de l'axe des ordonnées a pour ordonnée (a3−4a2+2a+2)e−a(a^3 - 4a^2 + 2a + 2)e^{-a}.

2.

Déterminer le nombre de tangentes à la courbe Cf\mathcal{C}_f passant par l'origine du repère.

Le candidat explicitera les étapes de la démarche utilisée.

Énoncé: Exercice 4 - Partie D · Bac Mathématiques Centres étrangers (Afrique) 2026 (jour 2)

Corrigé

Corrigé établi d’après les éléments de correction officiels

1. Démontrer que le point d'intersection de la tangente (Ta) et de l'axe des ordonnées a pour ordonnée (a^3 - 4a^2 + 2a + 2)e^(-a).

Réponse : (a3−4a2+2a+2)e−a(a^3 - 4a^2 + 2a + 2)e^{-a}

2. Déterminer le nombre de tangentes à la courbe Cf passant par l'origine du repère.

Réponse : 3

2. Explicitation des étapes de la démarche utilisée.

Réponse : Étude des variations de h(a)=a3−4a2+2a+2h(a) = a^3 - 4a^2 + 2a + 2, calcul des racines de h′(a)h'(a), puis application du théorème des valeurs intermédiaires sur [−1;0][-1 ; 0], [1;2][1 ; 2] et [3;4][3 ; 4] pour justifier l'existence et l'unicité de 3 solutions.

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