Exercice B · Bac Mathématiques Asie 2021 (jour 2)

1. Quelle formule a été saisie dans la cellule B3 pour permettre le calcul des valeurs approchées de (u_n) par recopie vers le bas ?

Réponse : =B2-ln(B2-1)

2. À l'aide de ces valeurs, conjecturer le sens de variation de la suite (u_n).

Réponse : Décroissante

2. À l'aide de ces valeurs, conjecturer la limite de la suite (u_n).

Réponse : 2

1. Calculer lim_{x -> 1} f(x).

Réponse : +∞

2. (a) Soit f' la fonction dérivée de f. Montrer que pour tout x ∈ ]1 ; +∞[, f'(x) = (x - 2) / (x - 1).

Réponse : $f'(x) = 1 - \dfrac{1}{x - 1} = \dfrac{x - 1 - 1}{x - 1} = \dfrac{x - 2}{x - 1}$

2. (b) En déduire le tableau des variations de f sur l'intervalle ]1 ; +∞[, complété par les limites.

Réponse : $f$ est strictement décroissante sur $]1\,;2]$ et strictement croissante sur $[2\,;+\infty[$, avec un minimum en $2$ valant $f(2) = 2$.

2. (c) Justifier que pour tout x ≥ 2, f(x) ≥ 2.

Réponse : D'après les variations de $f$, la fonction admet pour minimum $2$ atteint en $x = 2$, donc pour tout $x \ge 2$, $f(x) \ge 2$.

1. En utilisant les résultats de la partie II, démontrer par récurrence que u_n ≥ 2 pour tout entier naturel n.

Réponse : Initialisation : $u_0 = 10 \ge 2$ est vrai. Hérédité : Si $u_n \ge 2$, alors $f(u_n) \ge 2$ d'après la partie II 2.(c), soit $u_{n+1} \ge 2$. Conclusion : Pour tout $n \in \mathbb{N}$, $u_n \ge 2$.

2. Montrer que la suite (u_n) est décroissante.

Réponse : $u_{n+1} - u_n = -\ln(u_n - 1)$. Comme $u_n \ge 2$, $u_n - 1 \ge 1$, d'où $\ln(u_n - 1) \ge 0$, donc $u_{n+1} - u_n \le 0$.

3. En déduire que la suite (u_n) est convergente. On note L sa limite.

Réponse : La suite $(u_n)$ est décroissante et minorée par 2, donc d'après le théorème de convergence monotone, elle converge vers un réel $L$.

4. On admet que L vérifie f(L) = L. Donner la valeur de L.

Réponse : 2