Exercice A · Bac Mathématiques Asie 2021 (jour 2)

EXERCICE - A

Principaux domaines abordés

Suites

Équations différentielles

Dans cet exercice, on s'intéresse à la croissance du bambou Moso de taille maximale 20 mètres. Le modèle de croissance de Ludwig von Bertalanffy suppose que la vitesse de croissance pour un tel bambou est proportionnelle à l'écart entre sa taille et la taille maximale.

Partie I: modèle discret

Dans cette partie, on observe un bambou de taille initiale 1 mètre.

Pour tout entier naturel $n$, on note $u_n$ la taille, en mètre, du bambou $n$ jours après le début de l'observation. On a ainsi $u_0 = 1$.

Le modèle de von Bertalanffy pour la croissance du bambou entre deux jours consécutifs se traduit par l'égalité:

$$u_{n+1} = u_n + 0{,}05(20 - u_n) \text{ pour tout entier naturel } n.$$

1.

Vérifier que $u_1 = 1{,}95$. Détailler le calcul ci-dessous:

2. a)

Montrer que pour tout entier naturel $n$, $u_{n+1} = 0{,}95u_n + 1$.

2. b)

On pose pour tout entier naturel $n$, $v_n = 20 - u_n$. Démontrer que la suite $(v_n)$ est une suite géométrique dont on précisera le terme initial $v_0$ et la raison.

2. c)

En déduire que, pour tout entier naturel $n$, $u_n = 20 - 19 \times 0{,}95^n$.

3.

Déterminer la limite de la suite $(u_n)$.

Partie II: modèle continu

Dans cette partie, on souhaite modéliser la taille du même bambou Moso par une fonction donnant sa taille, en mètre, en fonction du temps $t$ exprimé en jour. D'après le modèle de von Bertalanffy, cette fonction est solution de l'équation différentielle

$$(E) \quad y' = 0{,}05(20 - y)$$

où $y$ désigne une fonction de la variable $t$, définie et dérivable sur $[0; +\infty[$ et $y'$ désigne sa fonction dérivée.

Soit la fonction $L$ définie sur l'intervalle $[0; +\infty[$ par $L(t) = 20 - 19\text{e}^{-0{,}05t}$.

1.

Vérifier que la fonction $L$ est une solution de $(E)$ et qu'on a également $L(0) = 1$.

2. a)

On prend cette fonction $L$ comme modèle et on admet que, si on note $L'$ sa fonction dérivée, $L'(t)$ représente la vitesse de croissance du bambou à l'instant $t$.

Comparer $L'(0)$ et $L'(5)$.

2. b)

Calculer la limite de la fonction dérivée $L'$ en $+\infty$. Ce résultat est-il en cohérence avec la description du modèle de croissance exposé au début de l'exercice ?