Exercice 1 · Bac Mathématiques Asie 2021 (jour 1)

1. Calculer $u_1$.

Réponse : 1150

2. Justifier que pour tout entier naturel $n$, $u_{n+1} = 0,9u_n + 250$.

Réponse : À l'année $2020+n$, on note $u_n$ le nombre d'abonnés. L'année suivante, $10\,\%$ des abonnés arrêtent de suivre le profil, donc il en reste $90\,\%$, soit $0,9u_n$. De plus, à ces abonnés restant s'ajoutent 250 nouveaux abonnés. D'où : pour tout $n \in \mathbb{N}$, $u_{n+1} = 0,9u_n + 250$.

3. Dans le contexte de l'exercice, interpréter la valeur renvoyée par suite(10).

Réponse : suite(10) renvoie 1977. Avec ce modèle, le nombre d'abonnés en 2030 serait de 1 977.

4. (a) Montrer, à l'aide d'un raisonnement par récurrence, que pour tout entier naturel $n$, $u_n \le 2\,500$.

Réponse : Pour tout entier naturel $n$, on considère la proposition $P_n : « u_n \le 2\,500 »$. Initialisation : $u_0 = 1\,000 \le 2\,500$, donc $P_0$ est vraie. Hérédité : Soit $n \in \mathbb{N}$. On suppose que $P_n$ est vraie, c'est-à-dire $u_n \le 2\,500$. Montrons que $P_{n+1}$ est vraie, soit $u_{n+1} \le 2\,500$. Par hypothèse de récurrence : $$u_n \le 2\,500$$ $$\Leftrightarrow 0,9u_n \le 2\,250 \quad (\text{car } 0,9 > 0)$$ $$\Leftrightarrow 0,9u_n + 250 \le 2\,500$$ $$\Leftrightarrow u_{n+1} \le 2\,500$$ Donc $P_{n+1}$ est vraie. Conclusion : Par principe de récurrence, pour tout $n \in \mathbb{N}$, $u_n \le 2\,500$.

4. (b) Démontrer que la suite $(u_n)$ est croissante.

Réponse : Soit $n \in \mathbb{N}$ : $$u_{n+1} - u_n = 0,9u_n + 250 - u_n = -0,1u_n + 250$$ Or d'après 4.a, on sait que $u_n \le 2\,500$, donc : $$-0,1u_n \ge -250 \Leftrightarrow -0,1u_n + 250 \ge 0$$ D'où $u_{n+1} - u_n \ge 0$. La suite $(u_n)$ est donc croissante.

4. (c) Déduire des questions précédentes que la suite $(u_n)$ est convergente.

Réponse : $(u_n)$ est croissante et majorée par 2 500, donc d'après le théorème de convergence monotone, elle converge vers une limite $\ell \in \mathbb{R}$.

5. (a) Montrer que la suite $(v_n)$ est une suite géométrique de raison $0,9$ et de terme initial $v_0 = -1\,500$.

Réponse : Soit $n \in \mathbb{N}$ : $$v_{n+1} = u_{n+1} - 2\,500 = 0,9u_n + 250 - 2\,500 = 0,9u_n - 2\,250 = 0,9(u_n - 2\,500) = 0,9v_n$$ $(v_n)$ est donc une suite géométrique de raison $0,9$. Premier terme : $v_0 = u_0 - 2\,500 = 1\,000 - 2\,500 = -1\,500$.

5. (b) Pour tout entier naturel $n$, exprimer $v_n$ en fonction de $n$ et montrer que : $u_n = -1\,500 \times 0,9^n + 2\,500$.

Réponse : D'après 5.a, $(v_n)$ est géométrique, d'où pour tout $n \in \mathbb{N}$ : $$v_n = v_0 \times 0,9^n = -1\,500 \times 0,9^n$$ De plus, $v_n = u_n - 2\,500 \Leftrightarrow u_n = v_n + 2\,500$. D'où pour tout $n \in \mathbb{N}$ : $$u_n = -1\,500 \times 0,9^n + 2\,500$$

5. (c) Déterminer la limite de la suite $(u_n)$.

Réponse : 2500

5. (c) Interpréter dans le contexte de l'exercice.

Réponse : Le nombre d'abonnés de cette influenceuse ne dépassera pas les 2 500 (il se stabilisera autour de 2 500 abonnés à long terme).

6. Écrire un programme qui permet de déterminer en quelle année le nombre d'abonnés dépassera 2 200.

Réponse : ```python def abonnes(): n = 0 u = 1000 while u < 2200: u = 0.9 * u + 250 n = n + 1 return 2020 + n ``` ```python def abonnes(): n = 0 while suite(n) < 2200: n = n + 1 return n + 2020 ```

6. Déterminer cette année.

Réponse : 2036