Exercice 2 · Bac Mathématiques Asie 2023 (jour 1)

EXERCICE 2 (5 points)

On considère le cube $ABCDEFGH$ qui est représenté en ANNEXE.

Dans le repère orthonormé $(A; \vec{AB}; \vec{AD}; \vec{AE})$, on considère les points $M$, $N$ et $P$ de coordonnées:

$$M\left(1\,;\,1\,;\,\frac{3}{4}\right), \quad N\left(0\,;\,\frac{1}{2}\,;\,1\right), \quad P\left(1\,;\,0\,;\,-\frac{5}{4}\right)$$

Dans cet exercice, on se propose de calculer le volume du tétraèdre $FMNP$.

1.

Donner les coordonnées des vecteurs $\vec{MN}$ et $\vec{MP}$.

2.

Placer les points $M$, $N$ et $P$ sur la figure donnée en ANNEXE.

3.

Justifier que les points $M$, $N$ et $P$ ne sont pas alignés. Dès lors les trois points définissent le plan $(MNP)$.

4.

(a) Calculer le produit scalaire $\vec{MN} \cdot \vec{MP}$, puis en déduire la nature du triangle $MNP$.

(b) Calculer l'aire du triangle $MNP$.

5.

(a) Montrer que le vecteur $\vec{n}(5\,;\,-8\,;\,4)$ est un vecteur normal au plan $(MNP)$.

(b) En déduire qu'une équation cartésienne du plan $(MNP)$ est $5x - 8y + 4z = 0$.

6.

On rappelle que le point $F$ a pour coordonnées $F(1\,;\,0\,;\,1)$. Déterminer une représentation paramétrique de la droite $d$ orthogonale au plan $(MNP)$ et passant par le point $F$.

7.

On note $L$ le projeté orthogonal du point $F$ sur le plan $(MNP)$. Montrer que les coordonnées du point $L$ sont: $L\left(\frac{4}{7}\,;\,\frac{24}{35}\,;\,\frac{23}{35}\right)$.

8.

Montrer que $FL = \frac{3\sqrt{105}}{35}$ puis calculer le volume du tétraèdre $FMNP$.

On rappelle que le volume $V$ d'un tétraèdre est donné par la formule: $V = \frac{1}{3} \times \text{aire d'une base} \times \text{hauteur associée à cette base}$.