Exercice 4 · Bac Mathématiques Asie 2022 (jour 1)

Principaux domaines abordés:

Étude des fonctions. Fonction logarithme.

Soit $f$ une fonction définie et dérivable sur $\mathbb{R}$. On considère les points $A(1; 3)$ et $B(3; 5)$.

On donne ci-dessous $C_f$ la courbe représentative de $f$ dans un repère orthogonal du plan, ainsi que la tangente $(AB)$ à la courbe $C_f$ au point $A$.

Les trois parties de l'exercice peuvent être traitées de manière indépendante.

Partie A

1.

Déterminer graphiquement les valeurs de $f(1)$ et $f'(1)$:

2.

La fonction $f$ est définie par l'expression $f(x) = \ln(ax^2 + 1) + b$, où $a$ et $b$ sont des nombres réels positifs.

a)

b)

Déterminer les valeurs de $a$ et $b$ à l'aide des résultats précédents:

Partie B

On admet que la fonction $f$ est définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = \ln(x^2 + 1) + 3 - \ln(2)$.

1.

2.

Déterminer les limites de $f$ en $+\infty$ et en $-\infty$:

3.

4.

5.

Partie C

On rappelle que la fonction $f$ est définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = \ln(x^2 + 1) + 3 - \ln(2)$.

1.

2.

3.