Exercice au choix - Exercice A · Bac Mathématiques Asie 2021 (jour 1)

1. Déterminer le coefficient directeur de la tangente à la courbe de la fonction f en 0.

Réponse : $0{,}4$

2. (a) Donner les variations de la fonction dérivée f'.

Réponse : $f'$ est décroissante sur $]-\infty\,;\,-2]$ et sur $[1\,;\,+\infty[$, et croissante sur $[-2\,;\,1]$.

2. (b) En déduire un intervalle sur lequel f est convexe.

Réponse : $[-2\,;\,1]$

1. Calculer la limite de la fonction f en -∞.

Réponse : $+\infty$

1. Calculer la limite de la fonction f en +∞.

Réponse : $+\infty$

2. Déterminer une expression f'(x) de la fonction dérivée de f pour tout x ∈ ℝ.

Réponse : $\dfrac{2x + 1}{x^2 + x + \dfrac{5}{2}}$

3. En déduire le tableau des variations de f. On veillera à placer les limites dans ce tableau.

Réponse : $f$ est strictement décroissante sur $\left]-\infty\,;\,-\dfrac{1}{2}\right]$ et strictement croissante sur $\left[-\dfrac{1}{2}\,;\,+\infty\right[$, avec un minimum égal à $\ln(9/4)$ en $x = -1/2$.

4. (a) Justifier que l'équation f(x) = 2 a une unique solution α dans l'intervalle [-1/2 ; +∞[.

Réponse : $f$ est continue et strictement croissante sur $\left[-\dfrac{1}{2}\,;\,+\infty\right[$, $f\left(\left[-\dfrac{1}{2}\,;\,+\infty\right[\right) = [\ln(9/4)\,;\,+\infty[$, or $\ln(9/4) \approx 0{,}8 < 2$, donc d'après le corollaire du TVI l'équation $f(x)=2$ admet une unique solution $\alpha$.

4. (b) Donner une valeur approchée de α à 10⁻¹ près.

Réponse : $1{,}8$

5. Déterminer le nombre de points d'inflexion de la courbe représentative de f.

Réponse : $2$