Exercice 2 · Bac Mathématiques Asie 2023 (jour 2)

EXERCICE 2 (6 points)

On considère la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = \ln(\mathrm{e}^{2x} - \mathrm{e}^x + 1)$. On note $C_f$ sa courbe représentée ci-dessous.

Un élève formule les conjectures suivantes à partir de cette représentation graphique:

L'équation $f(x) = 2$ semble admettre au moins une solution.

Le plus grand intervalle sur lequel la fonction $f$ semble être croissante est $[-0{,}5\,;\, +\infty[$.

L'équation de la tangente au point d'abscisse $x = 0$ semble être: $y = 1{,}5x$.

Le but de cet exercice est de valider ou rejeter les conjectures concernant la fonction $f$.

Partie A: Étude d'une fonction auxiliaire

On définit sur $\mathbb{R}$ la fonction $g$ définie par $g(x) = \mathrm{e}^{2x} - \mathrm{e}^x + 1$.

1.

Déterminer $\lim_{x \to -\infty} g(x)$.

2.

Montrer que $\lim_{x \to +\infty} g(x) = +\infty$.

3.

Montrer que $g'(x) = \mathrm{e}^x(2\mathrm{e}^x - 1)$ pour tout $x \in \mathbb{R}$.

4.

Étudier le sens de variation de la fonction $g$ sur $\mathbb{R}$. Dresser le tableau des variations de la fonction $g$ en y faisant figurer la valeur exacte des extrema s'il y en a, ainsi que les limites de $g$ en $-\infty$ et $+\infty$.

5.

En déduire le signe de $g$ sur $\mathbb{R}$.

6.

Sans en mener nécessairement les calculs, expliquer comment on pourrait établir le résultat de la question 5 en posant $X = \mathrm{e}^x$.

Partie B

1.

Justifier que la fonction $f$ est bien définie sur $\mathbb{R}$.

2.

La fonction dérivée de la fonction $f$ est notée $f'$. Justifier que $f'(x) = \dfrac{g'(x)}{g(x)}$ pour tout $x \in \mathbb{R}$.

3.

Déterminer une équation de la tangente à la courbe au point d'abscisse 0.

4.

Montrer que la fonction $f$ est strictement croissante sur $[-\ln(2)\,;\, +\infty[$.

5.

Montrer que l'équation $f(x) = 2$ admet une unique solution $\alpha$ sur $[-\ln(2)\,;\, +\infty[$ et déterminer une valeur approchée de $\alpha$ à $10^{-2}$ près.

Partie C

À l'aide des résultats de la partie B, indiquer, pour chaque conjecture de l'élève, si elle est vraie ou fausse. Justifier.

1.

Conjecture 1: « L'équation $f(x) = 2$ semble admettre au moins une solution. »

Vraie

Fausse

2.

Conjecture 2: « Le plus grand intervalle sur lequel la fonction $f$ semble être croissante est $[-0{,}5\,;\, +\infty[$. »

Vraie

Fausse

3.

Conjecture 3: « L'équation de la tangente au point d'abscisse $x = 0$ semble être: $y = 1{,}5x$. »

Vraie

Fausse