Exercice 2 · Bac Mathématiques Asie 2022 (jour 2)

Thème : Compléments sur la dérivation : composée, dérivée seconde et convexité · Tiré du sujet Jour 2 (2022)

Énoncé

Principaux domaines abordés:

Étude des fonctions. Fonction logarithme.

Partie A

Dans le repère orthonormé ci-dessous, sont tracées les courbes représentatives d'une fonction ff et de sa fonction dérivée, notée f′f', toutes deux définies sur ]3;+∞[]3; +\infty[.

1.

Associer à chaque courbe la fonction qu'elle représente. Justifier.

2.

Déterminer graphiquement la ou les solutions éventuelles de l'équation f(x)=3f(x) = 3.

3.

Indiquer, par lecture graphique, la convexité de la fonction ff.

Partie B

1.

Justifier que la quantité ln⁡(x2−x−6)\ln(x^2 - x - 6) est bien définie pour les valeurs xx de l'intervalle ]3;+∞[]3; +\infty[, que l'on nommera II dans la suite.

2.

On admet que la fonction ff de la Partie A est définie par f(x)=ln⁡(x2−x−6)f(x) = \ln(x^2 - x - 6) sur II.

Calculer les limites de la fonction ff aux deux bornes de l'intervalle II.

En déduire une équation d'une asymptote à la courbe représentative de la fonction ff sur II.

3.

(a) Calculer f′(x)f'(x) pour tout xx appartenant à II.

(b) Étudier le sens de variation de la fonction ff sur II. Dresser le tableau des variations de la fonction ff en y faisant figurer les limites aux bornes de II.

4.

(a) Justifier que l'équation f(x)=3f(x) = 3 admet une unique solution α\alpha sur l'intervalle ]5;6[]5; 6[.

(b) Déterminer, à l'aide de la calculatrice, un encadrement de α\alpha à 10−210^{-2} près.

< α\alpha <

5.

(a) Justifier que f′′(x)=−2x2+2x−13(x2−x−6)2f''(x) = \dfrac{-2x^2 + 2x - 13}{(x^2 - x - 6)^2}.

(b) Étudier la convexité de la fonction ff sur II.

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Corrigé

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Partie A 1. Courbe représentant la fonction f

Réponse : C1C_1

Partie A 1. Courbe représentant la dérivée f'

Réponse : C2C_2

Partie A 1. Justification de l'association des courbes

Réponse : Sur ]3;+∞[]3; +\infty[, la courbe C2C_2 est située au-dessus de l'axe des abscisses, donc C2>0C_2 > 0. La courbe C1C_1 représente une fonction strictement croissante sur ]3;+∞[]3; +\infty[. Comme la positivité de la dérivée équivaut à la croissance de la fonction, C1C_1 représente ff et C2C_2 représente f′f'.

Partie A 2. Déterminer graphiquement la ou les solutions éventuelles de l'équation f(x) = 3

Réponse : 5,65{,}6 (ou environ 5,635{,}63)

Partie A 3. Indiquer, par lecture graphique, la convexité de la fonction f

Réponse : concave

Partie B 1. Justifier que la quantité ln(x^2 - x - 6) est bien définie pour les valeurs x de l'intervalle ]3; +infinity[

Réponse : Le discriminant de x2−x−6x^2 - x - 6 est Δ=(−1)2−4(1)(−6)=25>0\Delta = (-1)^2 - 4(1)(-6) = 25 > 0. Les racines sont x1=1−52=−2x_1 = \frac{1-5}{2} = -2 et x2=1+52=3x_2 = \frac{1+5}{2} = 3. Le trinôme est du signe de a=1>0a = 1 > 0 à l'extérieur des racines, donc x2−x−6>0x^2 - x - 6 > 0 sur ]−∞;−2[∪]3;+∞[]-\infty; -2[ \cup ]3; +\infty[. Pour tout x∈]3;+∞[x \in ]3; +\infty[, la quantité sous le logarithme est strictement positive, donc ln⁡(x2−x−6)\ln(x^2 - x - 6) est bien définie.

Partie B 2. Limite de f en 3+

Réponse : −∞-\infty

Partie B 2. Limite de f en +infinity

Réponse : +∞+\infty

Partie B 2. Équation d'une asymptote à la courbe représentative de f

Réponse : x=3x = 3

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