Exercice 1 - Probabilités conditionnelles et indépendance · Bac Mathématiques Amérique du Sud 2022 (jour 2)

EXERCICE 1 (7 points) [probabilités]

Une entreprise fabrique des composants pour l'industrie automobile. Ces composants sont conçus sur trois chaînes de montage numérotées de 1 à 3.

La moitié des composants est conçue sur la chaîne n°1;

30 % des composants sont conçus sur la chaîne n°2;

les composants restant sont conçus sur la chaîne n°3.

À l'issue du processus de fabrication, il apparaît que 1 % des pièces issues de la chaîne n°1 présentent un défaut, de même que 0,5 % des pièces issues de la chaîne n°2 et 4 % des pièces issues de la chaîne n°3.

On prélève au hasard un de ces composants. On note:

$C_1$ l'événement « le composant provient de la chaîne n°1 »;

$C_2$ l'événement « le composant provient de la chaîne n°2 »;

$C_3$ l'événement « le composant provient de la chaîne n°3 »;

$D$ l'événement « le composant est défectueux » et $\overline{D}$ son événement contraire.

Dans tout l'exercice, les calculs de probabilité seront donnés en valeur décimale exacte ou arrondie à $10^{-4}$ si nécessaire.

PARTIE A

1.

Représenter cette situation par un arbre pondéré.

2.

Calculer la probabilité que le composant prélevé provienne de la chaîne n°3 et soit défectueux.

3.

Montrer que la probabilité de l'événement $D$ est $P(D)=0{,}0145$.

4.

Calculer la probabilité qu'un composant défectueux provienne de la chaîne n°3. (Arrondir à $10^{-4}$ si nécessaire).