Exercice 1 - Partie A · Bac Mathématiques Amérique du Sud 2022 (jour 1)

EXERCICE 1 (7 points) [Probabilités]

PARTIE A

Le système d'alarme d'une entreprise fonctionne de telle sorte que, si un danger se présente, l'alarme s'active avec une probabilité de $0{,}97$.

La probabilité qu'un danger se présente est de $0{,}01$ et la probabilité que l'alarme s'active est de $0{,}01465$.

On note $A$ l'événement « l'alarme s'active » et $D$ l'événement « un danger se présente ». On note $\overline{M}$ l'événement contraire d'un événement $M$ et $P(M)$ la probabilité de l'événement $M$.

1.

Représenter la situation par un arbre pondéré qui sera complété au fur et à mesure de l'exercice.

2. a.

Calculer la probabilité qu'un danger se présente et que l'alarme s'active.

2. b.

En déduire la probabilité qu'un danger se présente sachant que l'alarme s'active. Arrondir le résultat à $10^{-3}$.

3.

Montrer que la probabilité que l'alarme s'active sachant qu'aucun danger ne s'est présenté est $0,005$.

4.

On considère qu'une alarme ne fonctionne pas normalement lorsqu'un danger se présente et qu'elle ne s'active pas ou bien lorsqu'aucun danger ne se présente et qu'elle s'active.

Montrer que la probabilité que l'alarme ne fonctionne pas normalement est inférieure à $0,01$.